【前言】
中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡單題或者中檔題，目的在於考察基礎。第二部分往往就是開始拉分的中，難題了。
大家研究今年的北京一模就會發現，第二部分，或者叫難度開始提上來的部分，基本上都是以線段，角的計算與證明開始的。城鄉18個區縣的一模題中，有11個區第二部分第一道題都是標準的梯形，四邊形中線段角的計算證明題。剩下的7個區縣題則將線段角問題與旋轉，動態問題結合，放在了更有難度的倒數第二道乃至壓軸題當中。
可以說，線段角問題就是中考數學有難度題的排頭兵。對這些題輕鬆掌握的意義不僅僅在於獲得分數，更重要的是對於整個做題過程中士氣，軍心的影響。在這個專題中，我們對各區縣一模真題進行總結歸納,分析研究，來**線段，角計算證明問題的解題思路。
第一部分真題精講
【例1】（2010，崇文，一模）
如圖，梯形中，，．求的長．
【思路分析】線段，角的計算證明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性質以及勾股定理等知識點進行考察的。所以這就要求我們對梯形的性質有很好的理解，並且熟知梯形的輔助線做法。這道題中未知的是ab,已知的是ad,bc以及△bdc是等腰直角三角形,所以要把未知的ab也放在已知條件當中去考察.
做ae,df垂直於bc,則很輕易發現我們將ab帶入到了乙個有大量已知條件的直角三角形當中.於是有解如下.
【解析】
作於於，四邊形是矩形．
是的邊上的中線．
在中，【例2】（2010，海淀，一模）
已知：如圖，在直角梯形中，∥，，於點o，，求的長.
【思路分析】 這道題給出了梯形兩對角線的關係.求梯形上底.對於這種對角線之間或者和其他線段角有特殊關係(例如對角線平分某角)的題,一般思路是將對角線提出來構造乙個三角形.
對於此題來說,直接將ac向右平移,構造乙個以d為直角頂點的直角三角形.這樣就將ad轉化成了直角三角形中斜邊被高分成的兩條線段之一,而另一條線段bc是已知的.於是問題迎刃而解.
【解析】
過點作交的延長線於點.
∴ .∵ 於點,
∴ .∴ .
∵ ，∴ 四邊形為平行四邊形.
∴ .∵ ，
∴ .∵ ，
∴ .∴此題還有許多別的解法，例如直接利用直角三角形的兩個銳角互餘關係，證明△acd和 △dbc相似，從而利用比例關係直接求出cd。有興趣的考生可以多發散思維去研究。
【例3】（2010，東城，一模）
如圖，在梯形中，，，，為中點，．求的長度
．【思路分析】 這道題是東城的解答題第二部分第一道，就是我們所謂提難度的門檻題。乍看之下好象直接過d做垂線之類的方法不行.那該怎樣做輔助線呢?
答案就隱藏在e是中點這個條件中.在梯形中,一腰中點是很特殊的.一方面中點本身是多對全等三角形的公共點,另一方面中點和其他底,腰的中點連線就是一些三角形的中線,利用中點的比例關係就可以將已知條件代入.
比如這道題,過中點e做bc的垂線,那麼這條垂線與ad延長線,bc就構成了兩個全等的直角三角形.並且這兩個直角三角形的乙個銳角的正切值是已經給出的.於是得解.
【解析】
過點作的垂線交於點，交的延長線於點.
在梯形中，，是的中點，
∴在和中，
∴ .∴∵，∴.
在中，，
∴.在中，
【總結】 以上三道真題,都是在梯形中求線段長度的問題.這些問題一般都是要靠做出精妙的輔助線來解決.輔助線的總體思路就是將梯形拆分或者填充成矩形+三角形的組合,從而達到利用已知求未知的目的.
一般來說,梯形的輔助線主要有以下5類:
過一底的兩端做另一底的垂線，拆梯形為兩直角三角形+ 一矩形
平移一腰，分梯形為平行四邊形+ 三角形
延長梯形兩腰交於一點構造三角形
平移對角線，轉化為平行四邊形+三角形
連線頂點與中點延長線交於另一底延長線構築兩個全等三角形或者過中點做底邊垂線構築兩個全等的直角三角形
以上五種方法就是梯形內線段問題的一般輔助線做法。對於角度問題，其實思路也是一樣的。通過做輔助線使得已知角度通過平行，全等方式轉移到未知量附近。
之前三道例題主要是和線段有關的計算。我們接下來看看和角度有關的計算與證明問題。
【例4】 （2010，延慶，一模）
如圖，在梯形中，，平分，過點作，交的延長線於點，且，，，求的長．
【思路分析】 此題相對比較簡單，不需要做輔助線就可以得出結果。但是題目中給的條件都是此類角度問題的基本條件。例如對角線平分某角，然後有角度之間的關係。
面對這種題目還是需要將已知的角度關係理順。首先根據題目中條件，尤其是利用平行線這一條件，可以得出（見下圖）角c與角1，2，3以及角e的關係。於是一系列轉化過後，發現角c=60度，即三角形dbc為rt三角形。
於是得解。
【解析】：
∵ ∴，
∵ ∴ ∴∵
∴ ∴梯形是等腰梯形
∴ ∵，
∴ 在中，
∵，∴【例5】（2009，西城，一模）
已知：，，以ab為一邊作正方形abcd，使p、d兩點落在直線ab的兩側.如圖，當∠apb=45°時，求ab及pd的長；
【思路分析】這是去年西城一模的壓軸題的第一小問。如果線段角的計算出現在中間部分，往往意味著難度並不會太高。但是一旦出現在壓軸題，那麼有的時候往往比函式題，方程題更為棘手。
這題求ab比較容易，過a做bp垂線，利用等腰直角三角形的性質，將△apb分成兩個有很多已知量的rt△。但是求pd時候就很麻煩了。pd所在的三角形pad是個鈍角三角形，所以就需要我們將pd放在乙個直角三角形中試試看。
構築包含pd的直角三角形，最簡單的就是過p做da延長線的垂線交da於f，df交pb於g。這樣一來，得到了△pfa △age等多個rt△。於是與已求出的ab等量產生了關係，得解。
【解析】：
如圖，作ae⊥pb於點e
∵ △ape中，∠ape=45°，，
∴ ，．
∵ ，∴ ．
在rt△abe中，∠aeb=90°，
∴ ．如圖，過點p作ab的平行線，與da的延長線交於f，設da的延長線交pb於g．
在rt△aeg中，可得
，（這一步最難想到，利用直角三角形斜邊高分成的兩個小直角三角形的角度關係）
，．在rt△pfg中，可得，．
【總結】 由此我們可以看出，在涉及到角度的計算證明問題時，一般情況下都是要將已知角度通過平行，垂直等關係過度給未知角度。所以，構建輔助線一般也是從這個思路出發，利用一些特殊圖形中的特殊角關係（例如上題中的直角三角形斜邊高分三角形的角度關係）以及借助特殊角的三角函式來達到求解的目的。
第二部分發散思考
通過以上的一模真題，我們對線段角的相關問題解題思路有了一些認識。接下來我們自己動手做一些題目。希望考生先做題，沒有思路了看分析，再沒思路了再看答案。
【思考1】如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，．若ac⊥bd，
ad+bc=， 且， 求cd的長．
【思路分析】 前面我已經分析過，梯形問題無非也就那麼幾種輔助線的做法。此題求腰，所以自然是先將腰放在某個rt三角形中。另外遇到對角線垂直這類問題，一般都是平移某一條對角線以構造更大的乙個rt三角形，所以此題需要兩條輔助線。
在這類問題中，輔助線的方式往往需要交叉運用，如果思想放不開，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。
[解法見後文]
【思考2】如圖，梯形abcd中，ad//bc，∠b=30°，∠c=60°，e，m，f，n分別是ab，bc，cd，da的中點，已知bc=7，mn=3，求ef
【思路分析】此題有一定難度，要求考生不僅掌握中位線的相關計算方法，也對三點共線提出了要求。若求ef，因為bc已知，所以只需求出ad即可。由題目所給角b，角c的度數，應該自然聯想到直角三角形中求解。
（解法見後）
【思考3】已知，延長到，使．取的中點，鏈結交於點．
⑴ 求的值；
⑵ 若，，求的長．
【思路分析】 求比例關係，一般都是要利用相似三角形來求解。此題中有乙個等量關係bc=cd，又有f中點，所以需要做輔助線，利用這些已知關係來構造數個相似三角形就成了獲得比例的關鍵。
（解法見後）
【思考4】如圖3，△abc中，∠a=90°，d為斜邊bc的中點，e，f分別為ab，ac上的點，且de⊥df，若be=3，cf=4，試求ef的長．
【思路分析】 中點問題是中考幾何中的大熱點，幾乎年年考。有中點自然有中線，而倍長中線方法也成為解題的關鍵。將三角形的中線延長一倍，剛好可以構造出兩個全等三角形，很多問題就可以輕鬆求解。
本題中，d為中點，所以大家可以看看如何在這個裡面構造倍長中線。
（解法見後）
【思考5】 如圖，在四邊形中，為上一點，和都是等邊三角形，、、、的中點分別為、、、，試判斷四邊形為怎樣的四邊形，並證明你的結論．
【思路分析】此題也是中點題，不同的是上題考察中線，此題考察中位線。本題需要考生對各個特殊四邊形的性質瞭如指掌，判定，證明上都需要很好的感覺。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之間的轉化條件。
（解法見後）
第三部分思考題答案
思考1【解析】：作de⊥bc於e，過d作df∥ac交bc延長線於f．
則四邊形adfc是平行四邊形，∴，df=ac．
∵四邊形abcd是等腰梯形，
∴ac=bd．∴
又∵ac⊥bd，df∥ac，∴bd⊥df．
∴δbdf是等腰直角三角形
∴在中，
∵， ∴，∴
思考2【解析】：
延長ba，cd交於點h，連線hn，
因為∠b=30°，∠c=60°，所以∠bhc=90°
所以hn=dn（直角三角形斜邊中線性質）
∠nhd=∠ndh=60°
連線mh，同理可知∠mhd=∠c=60°。
所以∠nhd=∠mhd，即h，n，m三點共線（這一點容易被遺漏，很多考生會想當然認為他們共線，其實還是要證明一下）
所以hm=3.5 ，nh=0.5 an=0.5
所以ad=1 ef=（1+7）/2=4
思考3【解析】 ⑴過點作，交於點．
∵為的中點
∴為的中點，
由，得，，∴∴
∴∴⑵ ∵，∴
又，∴∵，∴．
思考4【解析】：
延長ed至點g，使dg=ed，連線cg，fg．
則△cdg≌△bde．所以cg=be=3，∠2=∠b．
因為∠b+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠fcg=90°．
因為df垂直平分eg，所以fg=ef．
在rt△fcg中，由勾股定理得，所以ef=5．
第1講線段 角的計算與證明問題
前言 中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡單題或者中檔題，目的在於考察基礎。第二部分往往就是開始拉分的中，難題了。大家研究今年的北京一模就會發現，第二部分，或者叫難度開始提上來的部分，基本上都是以線段，角的計算與證明開始的。城鄉18個區縣的一模題中，有11個區第二部分第一道題都...
第一講線段角的計算與證明問題
前言 中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡單題或者中檔題，目的在於考察基礎。第二部分往往就是開始拉分的中，難題了。大家研究今年的中考就會發現，第二部分，或者叫難度開始提上來的部分，基本上都是以線段，角的計算與證明開始的。可以說，線段角問題就是中考數學有難度題的排頭兵。對這些題輕...
第一講線段 角的計算與證明問題
前言 中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡單題或者中檔題，目的在於考察基礎。第二部分往往就是開始拉分的中，難題了。大家研究今年的北京一模就會發現，第二部分，或者叫難度開始提上來的部分，基本上都是以線段，角的計算與證明開始的。城鄉18個區縣的一模題中，有11個區第二部分第一道題都...