14.2《命題與證明》學習導航
命題與證明涉及平面幾何所要研究的基本內容之一，也是以後複雜圖形研究的重要基礎．在知識學習的同時，命題與證明逐步滲透了推理論證的格式，並介紹了命題的結構和證明的步驟，所以命題與證明也是推理論證的入門階段，命題與證明的內容是很重要的基礎知識，是關係到今後幾何學習的重要階段，是中考考查的熱點之一．
一、知識點回顧
1.定義、命題、公理和定理的含義．
(1)定義是揭示乙個事物區別於其他事物特徵的句子．
(2)命題：可以判斷是正確或錯誤的句子叫做命題．
其中正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題．
(3)命題是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，這種命題可寫成「如果……那麼……」的形式．其中用「如果」開始的部分是題設，用「那麼」開始的部分是結論．
(4)公理：如果—個命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，並把它作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫公理．
(5)如果乙個命題可從公理或其他真命題出發，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，並且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的命題叫定理．如「三角形的內角和等於180°」等．
注意：定理是正確的命題，但正確的命題不一定是定理．
2.定義、命題、公理和定理之間的聯絡與區別．
這四者都是句子，都可以判斷真假，即定義、公理和定理也是命題，不同的是定義、公理和定理都是真命題，都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據，只不過公理是最原始的依據，而命題不一定是真命題，因而它不一定能作為進一步判斷其他命題真假的依據．
3.證明
(1)根據題設、定義以及已經被確認的公理、定理等，經過邏輯推理，來判斷—個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明．
(2)證明真命題的一般步驟是：
①根據題意，畫出圖形；
②根據題設、結論，結合圖形，寫出已知、求證；
③經過分析，找出由已知推出結論的途徑，寫出證明過程，並註明依據．
命題的證明步驟與格式是本節的主要內容，是學習數學必具備的能力，在今後的學習中將會有大量的證明問題；另一方面它還體現了數學的邏輯性和嚴謹性．
推論證明的思路和方法．因為它體現抽象思維能力，如果同學們對邏輯的理解不深刻，往往找不出最優的思維切入點，證明的盲目性很大，因此對證明的思路和方法的訓練是十分必要.
（1）學習命題與證明主要以對比理解為主，通過比較各種術語之間的異同，理解其內在含義．
（2）概念辨析法的一般步驟是：①分析研究題目所給條件和問題；②回憶有關概念的內涵和要點；③用概念去辨析題目所給條件與問題；④進行分析、判斷、推理，綜合得出正確結論．
（3）證明乙個假命題的方法是舉乙個反例，證明乙個命題是真命題，可用分析法、綜合法或分析綜合法．
二、思想方法
靈活運用轉化的思維方法是平面幾何證明的基本思想方法．如變更發散命題，通過變更命題的形式，力求變換思維角度，多方位思考、多渠道闢徑，對於每個知識點挖掘其深邃的內涵，拓展其廣闊的外延，從而有利於培養創造性思維能力．
命題與證明滲透的思想方法還有特殊與一般、邏輯推理思想等.在進行命題的證明時，體會命題證明的必要性，證明的步驟及格式，會根據一些簡單的命題畫出圖形，並結合圖形寫出已知、求證，進行推理論證，並且會註明每一步推理的理由．
三、易錯點歸納
1.命題的結論和題設分辨不清
【例1】 將下列命題改寫成「如果……，那麼……」的形式.
(1)同角的餘角相等； (2)直角都相等．
［誤解］(1)常有以下幾種錯誤改寫：
如果是同角，那麼餘角相等；
如果兩個角是同角，那麼它們的餘角相等；
如果同乙個角是餘角，那麼餘角相等．
(2)常有以下幾種錯誤改寫：
如果是直角，那麼相等；
如果直角等於90°，那麼直角都相等；
如果兩條直線互相垂直，那麼直角都相等．
[正解] (1)如果兩個角是同乙個角的餘角，那麼這兩個角相等；
(2)如果兩個角都是直角，那麼這兩個角相等．
[剖析與指導] 產生改寫錯誤的主要原因是：(1)在命題的題設和結論不很分明時，分辨不清哪是題設，哪是結論；(2)不能正確地理解一些概念名稱，如同角、餘角、直角等在敘述命題的語句中的地位和意義：(3)缺乏把簡單句變換成復合句的語法知識．
命題的改寫是命題教學的基礎，在命題學習中，首先要掌握命題的構造，分清命題的題設是什麼？結論是什麼？然後才能在這個基礎上進行命題的改寫．
對於命題的改寫，特別是題設和結論不很分明的命題的改寫，應注意以下幾點：
(1)命題的「縮句」練習．命題是判斷一件事情的語句．為明確語句中各詞語的含義及地位確定這語句中的「主詞」和「賓詞」，可以進行類似於小學語文中的「縮句」練習．如把命題「同角的餘角相等」縮寫成「餘角相等」，由此知道主詞是「餘角」，賓詞是「相等」；又命題「兩條平行線被第三條直線所截，同位角的平分線平行」可以縮為：「兩個角的平分線平行」，由此得主詞為「兩個角的平分線」．賓詞為「平行」．
(2)主詞的數量表達方法．當主詞的物件在數量上包含有「無數個」時，一般在主詞前面加上「任意兩個」或就寫「兩個」來表達這「無數個」．如同角的餘角可以有無數個，在改寫時一般只需寫成「同角的任意兩個餘角」，或寫成「同角的兩個餘角」．又如直角也有無數個，在改寫時只需寫成「任意兩個直角」或「兩個直角」．
(3)改寫方法．把命題的主詞連同它的修飾部分．經過重新組織或新增一些詞語．寫成「如果……」部分，賓詞寫成「那麼……」部分，把它們連線成乙個完整的句子，就得到改寫成的命題．
2.文字語言與「圖形語言」轉換出現障礙
【例2】對命題：「同角的補角相等」．畫圖，並寫出已知、求證．(不證明)
[ [誤解] 如圖1
已知：∠aob與∠cod是同角，
∠boe是∠aob的補角，
∠dof是∠cod的補角．
求證：∠boe=∠dof．
[正解]如圖2
已知：∠cpd是∠aob的補角，∠eqf是∠aob的補角．
求證：∠cpd=∠eqf．
[剖析與指導]這類題目不僅要求分清命題的題設和結論，而且要求能夠把文字敘述的命題正確地「翻譯」為圖形和符號語言．這兩方面都是困難的．尤其是「翻譯」---圖形化、符號化，更是練習中的主要障礙．但這也正是繼續學習幾何的基礎和必備的技能．
對於把文字命題「翻譯」成圖形，與前面所提及的「讀句畫圖」問題是一致的．把文字命題「翻譯」成符號語言表示，即用已知、求證表示出來，一般分為兩個步驟完成：(1)按照題意，畫出圖形；(2)分清命題的題設和結論，然後結合圖形，用符號語言寫成已知、求證．在「已知」項中寫出題設，在「求證」項中寫出結論．
[誤解]中的錯誤主要是在畫圖時把「同角」理解成等角，並且把乙個角的補角畫成鄰補角，變成了與原命題意義不同的「新」命題了．
3.證明時推理依據不準確
學習幾何，必須學會證明，初學幾何證明，往往會出現推理根據顛三倒四，拿著題設當結論，推理過程不嚴謹，甚至是錯誤的現象，現將其常見錯誤剖析幾例，以期達到「治病」或「預防」之目的。
【例3】 已知：∠1+ ∠2=180°
求證：∠3=∠4。
【錯證】：∵∠1+∠2=180°(已知)；
∴l1∥l2(兩直線平行，同旁內角互補)
∴∠3=∠4(同位角相等，兩直線平行)
【剖析與指導】錯證推理依據不對，其實質是混淆了平行線的判定與性質。
正確的證明方法如下：
∵∠1+∠2=180°(已知)；
∴l1∥l2(同旁內角互補，兩直線平行)
∴∠3=∠4(兩直線平行，同位角相等)
四、中考熱點透視
縱觀近幾年來全國各地的中考試題，涉及本章內容的常見題型有：填空題、選擇題、作圖題、計算題、證明題．作為基礎知識在綜合題中也時有出現．主要考查的內容有真命題和假命題的判定，平行線的判定和性質，三角形內角和定理及其外角定理．由於幾何的推理論證是訓練邏輯思維能力的基本手段之一，因此本章內容顯得十分重要．
例1（2006安徽中考題）如圖，直線a∥b，點b在直線b上，且ab⊥bc,∠1＝55 ，則∠2的度數
為 a.35 b.45 c.55 d.125
解析：本題主要考察平行線的性質.
∵直線a∥b（已知），
∴∠1＝∠3（兩直線平行，內錯角相等）
∵∠1＝55 （已知）
∴∠3＝∠1＝55 。
∵ab⊥bc（已知），
∴∠abc＝90（垂直定義）
又∠2＋∠abc＋∠1＝180
∴∠2＝35（等式的性質）.
例2（2006黑龍江雞西市中考題）如圖，ab∥cd，
∠b=680，∠e=200，則∠d的度數為 .
解析：∵ab∥cd（已知）
∴∠b=∠cfe=68 (兩直線平行，同位角相等)
而∠cfe＝∠d+∠e（三角形內角和定理的推論）
∴∠d＝68－20＝48。
五、方法技巧總結
例1 有大、小兩個正方形，大正方形的乙個頂點和小正方形的中心重合．轉動大正方形，重疊部分的形狀會不斷地變化．問在轉動過程中，重疊部分的面積會變化嗎？
解析做這道題時，我們首先應該想象著或動手畫一畫，讓大正方形在我們的眼前轉起來，好像看到了重疊部分隨著大正方形的轉動而變化成不同的形狀．接著，我們又發現，在轉動過程中，重疊部分永遠是小正方形中的一部分，而且轉動一周，重疊部分會變化出無數個不規則的四邊形，還會出現四個正方形（圖1）和四個三角形（圖2）（在圖中畫一畫，看一看四個正方形和四個三角形分別出現在**，它們的面積是怎樣的）．
最後，我們來看看那些不規則的四邊形吧：在小正方形中過中心點畫兩條延長線（圖中的虛線），於是，小正方形被分成了四部分（圖3）．很容易看出，這四部分的形狀、大小是完全相同的，重疊部分的面積佔小正方形的四分之一．無論大正方形轉到哪兒，重疊部分的面積永遠佔小正方形的四分之一，是不會變的.
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