八年級數學上冊知識要點

第一章三角形

1、三角形的分類

三角形按邊的關係分類如下：不等邊三角形、三角形底和腰不相等的等腰三角形、等邊三角形。

三角形按角的關係分類如下：直角三角形（有乙個角為直角的三角形）、銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）、斜三角形、鈍角三角形（有乙個角為鈍角的三角形）

把邊和角聯絡在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。

2、三角形的三邊關係定理及推論

（1）三角形三邊關係定理：三角形的兩邊之和大於第三邊。推論：三角形的兩邊之差小於第三邊。3、三角形的內角和定理及推論

三角形的內角和定理：三角形三個內角和等於180°。推論：

①直角三角形的兩個銳角互餘。

②三角形的乙個外角等於和它不相鄰的來兩個內角的和。③三角形的乙個外角大於任何乙個和它不相鄰的內角。

注：在同乙個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。

4、三角形的面積

三角形的面積=1/2×底×高

第二章全等三角形

1、全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。

2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：

（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「邊角邊」或「sas」）

（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「角邊角」或「asa」）

（3）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「邊邊邊」或「sss」）。直角三角形全等的判定：

對於特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有hl定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成「斜邊、直角邊」或「hl」）

3、全等變換

只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：

（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻摺180°，這種變換叫做對稱變換。

（3）旋轉變換：將圖形繞某點旋轉一定的角度到另乙個位置，這種變換叫做旋轉變換。

等腰三角形

1、等腰三角形的性質

（1）等腰三角形的性質定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊並且垂直於底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個角都相等，並且每個角都等於60°。

2、三角形中的中位線

連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

（1）三角形共有三條中位線，並且它們又重新構成乙個新的三角形。（2）要會區別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於它的一半。三角形中位線定理的作用：

位置關係：可以證明兩條直線平行。數量關係：可以證明線段的倍分關係。

常用結論：任乙個三角形都有三條中位線，由此有：

結論1：三條中位線組成乙個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等

第三章軸對稱

一、軸對稱與軸對稱圖形：

1、軸對稱：把乙個圖形沿著某一條直線摺疊，如果它能夠與另乙個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關於這條直線對稱，兩個圖形中的對應點叫做對稱點，對應線段叫做對稱線段。

2、軸對稱圖形：如果乙個圖形沿著一條直線摺疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。注意：對稱軸是直線而不是線段

3、軸對稱的性質：

（1）關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形；

（2）如果兩個圖形關於某條直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線；

（3）兩個圖形關於某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上；

（4）如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關於這條直線對稱。

4.線段垂直平分線：

（1）定義：垂直平分一條線段的直線是這條線的垂直平分線。

（2）性質：

①線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；

②到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。注意：根據線段垂直平分線的這一特性可以推出：三角形三邊的垂直平分線交於一點，並且這一點到三個頂點的距離相等。

5.角的平分線：

（1）定義：把乙個角分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線.

（2）性質：①在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.②到乙個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.

注意：根據角平分線的性質，三角形的三個內角的平分線交於一點，並且這一點到三條邊的距離相等.

6、等腰三角形的性質與判定：性質：

（1）對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸，或底邊上的高所在的直線是它的對稱軸，或頂角的平分線所在的直線是它的對稱軸；

（2）三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；

（3）等邊對等角：等腰三角形的兩個底角相等。說明：

等腰三角形的性質除「三線合一」外，三角形中的主要線段之間也存在著特殊的性質，如：①等腰三角形兩底角的平分線相等；②等腰三角形兩腰上的中線相等；③等腰三角形兩腰上的高相等；④等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等。判定定理：

如果乙個三角形的兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。

7.等邊三角形的性質與判定：

性質：（1）等邊三角形的三個角都相等，並且每個角都等於60°；

（2）等邊三角形具有等腰三角形的所有性質，並且在每條邊上都有「三線合一」。因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，而等腰三角形（非等邊三角形）只有一條對稱軸。判定定理：

有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。說明：等邊三角形是一種特殊的三角形，容易知道等邊三角形的三條高（或三條中線、三條角平分線）都相等。

二、中心對稱與中心對稱圖形： 1.中心對稱：

把乙個圖形繞著某乙個點旋轉180°，如果它能夠和另外乙個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關於這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關於中心的對稱點。 2.中心對稱圖形：

在平面內，乙個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉前後的圖形互相重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。3.中心對稱的性質：

（1）關於中心對稱的兩個圖形是全等形；（2）在成中心對稱的兩個圖形中,連線對稱點的線段都經過對稱中心,並且被對稱中心平分；（3）成中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。

三、幾種常見的軸對稱圖形和中心對稱圖形：軸對稱圖形：線段、角、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓對稱軸的條數：

角有一條對稱軸，即該角的角平分線；等腰三角形有一條對稱軸，是底邊的垂直平分線；等邊三角形有三條對稱軸，分別是三邊上的垂直平分線；菱形有兩條對稱軸，分別是兩條對角線所在的直線，矩形有兩條對稱軸分別是兩組對邊中點的直線；軸對稱中心對稱有一條對稱軸——直線有乙個對稱中心——點圖形沿對稱軸對折(翻摺180)後重合圖形繞對稱中心旋轉180後重合對稱點的連線被對稱軸垂直平分對稱點連線經過對稱中心,且被對稱中心平分。

中心對稱圖形：線段、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓對稱中心：線段的對稱中心是線段的中點；平行四邊形、菱形、矩形、正方形的對稱中心是對角線的交點，圓的對稱中心是圓心。

說明：線段、菱形、矩形、正方形以及圓它們即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。

四、座標系中的軸對稱變換與中心對稱變換：點p(x,y)關於x軸對稱的點p1的座標為(x,-y)，關於y軸對稱的點p2的座標為(-x,y)。關於原點對稱的點的座標p3的座標是(-x,-y)這個規律也可以記為：

關於y軸（x軸）對稱的點的縱座標（橫座標）相同，橫座標（縱座標）互為相反數。關於原點成中心對稱的點的，橫座標為原橫座標的相反數，縱座標為原縱座標的相反數，即橫座標、縱座標同乘以-1。

常見考法（1）判別某些圖形是不是軸對稱圖形能找出對稱軸，對稱軸的條數、判別某些圖形是中心對稱圖形能找到對稱中心；（2）利用垂直平分線性質、角平分線性質證明一些結論；（3）利用等腰三角形三線合一性質證明線段相等、線段垂直；（4）直接證明某乙個三角形是等腰三角形；（4）軸對稱圖形的實際應用（如鏡子中的軸對稱問題、解決一些摺疊問題、還有求幾個線段之和最短問題）。

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