柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎，有著廣泛的應用，教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊型別的函式極值中的應用.
在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎上，教科書引導學生在平面直角座標系中，根據兩點間的距離公式以及三角形的邊長關係，從幾何意義上發現二維形式的三角不等式接著借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基礎上，教科書安排了—個**欄目，讓學生通過**得出一般形式的三角不等式.
由上可見，教材編寫者對這部分內容的要求以便讓學生在大學學習打下堅實的基礎，但這部分教與學的難度是顯而易見的.
柯西不等式是柯西在2023年研究數學分析中的「留數」問題時得到的.表面上看，這一不等式並不難理解，也很容易驗證它的正確性，特別是它的二階形式，幾乎是不證自明的.但是，我們能看出這一平凡無奇的不等式成立，是因為事先已經知道兩邊是什麼式子，而最先發現這樣的不等關係，則是乙個創造的過程，並不是那麼容易的.
柯西不等式不失為至善至美的重要不等式,以它的對稱和諧的結構,簡潔明快的解題方法等特點,深受人們的喜愛.而且和物理學中的向量、高等數學中的內積空間等內在地聯絡在一起.柯西不等式的幾種形式都有較為深刻的背景和廣泛的應用，向量形式不僅直觀地反映了這一不等式的本質，一般形式有乙個推廣形式：
.其中.該不等式稱為赫爾德（holder）不等式，當時，即為柯西不等式，是數學分析中最有用的不等式之一.
此外，平面三角不等式是柯西不等式的等價形式，它的推廣形式
（閔可夫斯基不等式）也是數學分析中的經典不等式.
這就是在新課程標準中作為選學內容出現的原因，也是多年數學奧賽的重點內容的原因.但由於中學生的認知水平，要達到標準要求「了解柯西不等式、會求一些特定函式的極值」對很多同學來說是乙個難點.那麼，如何達到學習目的呢？
1．首先熟悉「∑」的含義
有很多同學十分「痛恨」 ∑這個符號，總是看不懂，從而就避開這個符號，如93年高考題理科（24）使用了連加號「σ」，許多考生不懂，其實這個符號在課本多次出現過，由於長期不用，他們忘記了.這個符號是絕對好用的，並且以後會常常遇到，在大學課本中更是家常便飯，多看幾次自然也就習慣了.下方寫，上方寫，這裡是下標變數，1是起始的值，是終止的值，這時.
2．柯西不等式有著豐富的幾何背景，可以通過幾何解釋加深對其本質特徵的認識與理解
對於乙個代數結果作簡單的解釋，往往需要借助於幾何背景，只有人們知道了問題發現的過程，才能理解它的深刻含意.柯西不等式有著豐富的幾何背景，運用向量的數量積在不等式和幾何之間架起一座橋梁，就可以用幾何的背景解釋不等式：
設，，由，可得
.3．認清柯西不等式的結構形式以便發生聯想
20世紀最偉大的數學家馮·諾依曼（l.j.von neumann）指出「大多數最好的數學靈感**於經驗」，從形式結構上看，柯西不等式大的一邊是兩個向量的模的積的形式，小的一邊是向量數量積的座標運算的平方形式，只需簡記為「方和積大於積和方」.
等號成立條件比較特殊，要牢記.此外應注意在這個式子裡不要求各項均是正數.有了這一經驗，就容易在解題時發生聯想.
如：例1 設為正數，求證：.
分析：如果要運用cauchy不等式，就要聯想到小的一邊是「積和方」形式就自然分析出只要證在不等式兩邊同乘以，即，
而另一邊要看成「方和積」，只需變形
，，應用柯西不等式，得
即.4．含有常數的不等式處理方法
在不等式中含有常數，這個常數一般與cauchy不等式中向量的維數有關，通常把n寫成的形式或的形式,又如：
例2 證明：.
分析：常數4恰好就是每個括號中加數的個數，此時通常把4寫成「」，用柯西不等式：
即可.例3 設是實數，對任意實數恒有
成立，試求λ的取值範圍．
分析：與柯西不等式的一般形式比較，「積和方」已經具備，而另一邊只需再構造乙個「方
和積」即可，由於，
所以，.
例4 求三個實數，使得它們同時滿足下列方程
.分析：將兩方程左右兩邊分別相加，變形，得．
由第1個方程變形，得．
於是由柯西不等式，得
.從而由等號成立的條件可得，
故原方程的解為．
提示：由柯西不等式解方程時一定要注意運用cauchy不等式等號成立的條件.
5．在應用cauchy不等式求最值時，要善於構造
例5 （2023年全國初中聯賽題） 求實數x、y的值，使得
達到最小值．
分析：就需要把看成是不等式中向量模的平方，構造另一模的平方，構造的順序為把最繁的式子對應的座標為1，考慮乘以就可以把抵消，因此就是對應座標，最後看
,因此對應的座標為1，從而就有cauchy不等式：．.
例6 若,求的最小值,並指出等號成立的條件.
分析：由於各項係數不同，而且既有1次項，又有2次項，顯然要用柯西不等式，因為是求的最小值，一定要把看成「方和積」的一部分，而條件是常數，它一定是「積和方」的一部分.而且使用柯西不等式不受-7c這項的影響.
使用時，注意寫明等號成立條件，檢驗最小值能否取到.
6.知識小結
1．二維形式的柯西不等式：若都是實數，則，
當且僅當時，等號成立.
2．柯西不等式的向量形式：設是兩個向量，則，當且僅當是零向量或存在實數，使時，等號成立.
3．二維形式的三角不等式：設，則.
4.三維形式的柯西不等式：設是實數，則
當且僅當或存在乙個數，使得時等號成立.
5.一般形式的柯西不等式：
設是實數，則
.當且僅當或存在乙個數，使得時等號成立.
7.應用舉例
例1 已知，求證：.
證明：由柯西不等式得
所以例2 設是4個不全為零的實數，求證：.
證明：所以.例3 若，試求的最小值及最小值點.
解：由柯西不等式得，
得，所以.
當且僅當時等號成立，
為求最小值點，需解方程組 ∴
即當時，的最小值為，最小值點為.
例4 已知且求證：
證明：設，則，∴.
例5 若，試求函式的最大值，並求出相應的的值.
解：設，則
當且僅當時，上式取「=」，此時，解得
∴當時，函式取最大值.
例6 設是正數，證明：.
證明：由柯西不等式得
.所以.
同理，.
將三個不等式相加，得.
說明：對於許多分式不等式分母太多，也很複雜，我們可區域性利用柯西不等式將分母化為統一的式子，使問題得以簡化.
例7 解方程 .
解：原方程變形為
.其中等號成立的重要條件是.
解得.說明：注意方程與不等式間的相互轉化，當不等式中的等號成立時，不等式就成為方程了.
例8個互不相同的正偶數與個互不相同的正奇數的總和為，對於所有這樣的，問的最大值是多少？試證明你的結論.
解：設為互不相同的正偶數，，則，，
，由上述三式可得，即.
由柯西不等式得，.
即.∴.∴.
又當時，且滿足.
故所求最大值為.
說明：本題反映了一種重要解題方式，那就是首先縮小所**目標的範圍，再運用柯西不等式作進一步收縮，步步逼近，最後又經過構造例項使目標得到確認.
例9 設為實數，運用柯西不等式證明：.
證明：由柯西不等式得.
於是即得.
再由柯西不等式得
.於是.
綜合知原不等式成立.
例10 已知實數滿足，且，試求的最大值與最小值.
解：由柯西不等式得，.
即.綜合得，
當且僅當，即時等號成立.
由和知，
當時，當時，例11 已知正數滿足，且不等式恆成立，求的取值範圍.
解所以的取值範圍是.
例12 求出所有實數，使得存在非負實數，適合下列關係式：
②③解：設有非負實數滿足題設要求，那麼由柯西不等式得
這樣一來，上式中唯有等號成立，於是
如果中有兩個或兩個以上不為零，上式不可能成立，所以只能有上述兩種情形：
⑴此時.
⑵中有且僅有乙個不為零，不妨設，依題設
解得綜上知，當時，存在非負實數滿足題設要求.
例13是內一點，是到三邊的距離，是外接圓的半徑，證明：
.證明：記是的面積，則
所以說明：本題中給出三邊的長，又給出了內一點到三邊的距離及外接圓的半徑，可聯想到的面積可以把這些量聯絡起來：，又
練習1一、選擇題
1．若直線通過點，則（d）
a． b． c． d．
2．已知，且，則（c）
ab． c． d．
3．若滿足其中為常數，那麼的最大值為（b）
ab． c． d．
4.若都為實數,則不等式取等號的條件是d）
a. b. c. d .
5.已知且則與的關係為（b）
a. b. c. d.
6.設，則的最小值為（d）
abcd.
7.若是非零實數且，，，則與的大小關係為（a）
abcd.
8.若實數滿足，則的最小值為（d）
abcd.
9.函式的最小值為（c）
abc． d．
10不等式等號成立的條件為（d）
ab．c． d．
二、填空題
11．設，且，則的最小值為答案：
12．設為正數，則的最小值為答案：
13.函式的最大值為 .答案：
14.設，則的最大值為 .答案：
15.設都是正實數，，，
則與的大小關係為答案：
16.若，則的最小值為 ，最小值點為 .答案：
三、解答題
17.求證：.
證明：由柯西不等式得
∴當且僅當即時等號成立.
18.設，求證：.
證明：由柯西不等式得
∴.再由柯西不等式得
∴.19已知且，求證：.
證明：設，則又∴
用柯西不等式的變式證明不等式
電子郵箱 聯絡 158 來稿日期 2012 10 15 苗勇 江蘇省睢寧縣古邳中學 221241 本文的例1至例4分別是文 1 的例1至例4，文 1 對這類輪換對稱不等式的證明的方法是先猜想不等式等號成立的條件是，然後利用基本不等式進行構造證明，方法巧妙，但操作較為麻煩，筆者發現這類不等式用柯西不等...
柯西不等式的證明及變形
柯西 cauchy 不等式 等號當且僅當或時成立 k為常數，現將它的證明介紹如下 證明1 構造二次函式 恆成立 即當且僅當即時等號成立 證明 2 數學歸納法 1 當時左式 右式 顯然左式 右式 當時，右式右式 僅當即即時等號成立 故時不等式成立 2 假設時，不等式成立 即當，k為常數，或時等號成立設...
柯西不等式的證明及其應用
摘要柯西不等式是乙個非常重要的不等式，靈活巧妙的應用它，可以使一些較難得問題迎刃而解。文中給出柯西不等式等幾種證明方法，並舉例說明柯西不等式在數學中的廣泛應用.關鍵詞柯西不等式 證明 應用.中圖分類號 o123.1 1 引言 柯西不等式的應用比較廣泛，同時與其他科目有很大的聯絡，因此柯西不等式的研究...