不等式的證明方法總結
一．比較法（作差比較，作商比較）
例1．已知x(x2-y2)(x+y)．
證明：∵(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y)>0
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y)．
例2．已知a>b>c，求證a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2．
證明：∵(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)
=a2(b-c)+a(c2-b2)+bc(b-c)
=(b-c)(a2-ac-ab+bc)
=(b-c)[a(a-c)-b(a-c)]
=(a-b)(a-c)(b-c)>0
∴a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2．
例3．已知a，b>0，a≠b，求證aabb>abba．
證明：．
當a>b>0時， a-b>0， ∴上式》1；
當b>a>0時， a-b<0，0< ∴上式》1；
∴aabb>abba．
(注意：作差法，比較差與0的大小；作商法，比較商與1的大小．)
二．綜合法
例4．已知a，b，c>0，求證．
證明：∵，
同理，，
∴，即．
例5．已知a，b，c>0，a+b+c=1，求證．
證明： ==
=8三．分析法
例6．已知a≥3，求證．
證明：要證原式，只需證，
即證即證
即證即證a2-3a≤a2-3a+2
即證0≤2
因為上式成立，所以原式也成立．
四．換元法
例7．已知00，求證．
證明：方法一.令x=sin2α，則1-x=cos2α．
=a2csc2α+b2sec2α
=a2(1+cot2α)+b2(1+tan2α)
=a2+b2+a2cot2α+b2tan2α
≥a2+b2+2acotα·btanα
=(a+b)2
方法二..
五．放縮法
例8．已知a，b，c，d>0，求證．
證明：>；<．例9．求證．
證明：>=1+2+…+n
=；<==
=．練1．已知x，y>0，求證．
練2．求證．
練3．求證．
六．反證法
例10．已知p3+q3=2，求證p+q≤2．
證明：假設p+q>2，
則(p+q)3>23，
即p3+3p2q+3pq2+q3>8，
即p2q+pq2>2，
即p2q+pq2>p3+q3，
即pq(p+q)>(p+q)(p2-pq+q2)，
即pq>p2-pq+q2，
即p2 +q2<2pq，與p2 +q2>2pq矛盾，所以p+q≤2．
例11．已知f(x)=x2+px+q，求證
f(3)+f(1)-2f(2)=2；
|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有乙個不小於0．5．
證明： f(3)+f(1)-2f(2)=(9+3p+q)+(1+p+q)-2(4+2p+q)=2；
假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|<0．5，
則|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2，
而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>|f(1)-2f(2)+f(3)|=2，矛盾．
所以|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有乙個不小於0．5．
七．判別式法
例12．已知a，b，c，d∈r，求證(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．
證明：當a=b=0時，上式顯然成立；
當a，b不全為0時，
因為關於x的不等式(ax-c)2+(bx-d)2≥0恆成立，
即(a2+b2)x2-2(ac+bd)x+(c2+d2)≥0恆成立，
由△≤0，即得(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．
綜上所述(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．
八．構造向量
例13．已知a，b，c，d∈r，求證(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．
證明：設向量=(a，b)， =(c，d)．
∵，∴|ac+bd|≤，
平方即得(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．
九．建構函式
例14．已知△abc的三邊長是a，b，c，且m>0，求證．
證明：令函式f(x)=
由f(x)=知f(x)在(0，+∞)上是增函式．
∵a+b>c
∴f(a+b)>f(c)
∴，得證．
例15．已知b>a>e，求證ab>ba．
證明：令，
，∴f(x)在(e，+∞)上是減函式．
∵b>a>e，
∴f(b)即，
∴alnb∴lnba∴ab>ba．
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