《不等式選講》練習題
一、填空題：
．若關於實數的不等式無解,則實數的取值範圍是_________
【解】因為不等式的最小值為8，所以要使不等式無解，則，即實數的取值範圍是。
2.設實數滿足，當時，則的取值範圍是
3.已知函式滿足，，的取值範圍是___
4.已知：、都是正數，且，，，的最小值是____5_____
5.若關於的方程有實數解，則實數的取值範圍為
6.不等式的解集為
7.在實數範圍內,不等式的解集為_________
【解析】本題考查絕對值的基本求法。由得，即，即，解得，所以原不等式的解集為。
8.已知a, b, m, n均為正數, 且a+b=1, mn=2, 則(am+bn)(bm+an)的最小值為___2____.
【解析】利用柯西不等式求解，,當且僅當
時取最小值 2
9.設,且滿足:, ,則_______.
【解析】本題考查柯西不等式的應用。由柯西不等式可知，，即，因為，所以當且進行時取等號。此時代入得，即，所以。
10.設a, b, c均為正數，且，則之最小值為__18______，此時__
二、解答題
11.求證：
證：設向量,由,得
注意：當∥時，即，，，、方向相同，取等號。
當利用公式證明時，會得：
的錯誤結論，因為這裡取等號
的條件是∥，且、方向相反，根據題設條件，∥時，方向相同，故取不到等號，
計算的結果也使不等式範圍縮小了。
12.求下列函式的值域：
（12）
（34）
13 ．設均為正數,且,證明
14.已知函式,其中.
()當時,求不等式的解集;
()已知關於的不等式的解集為,求的值.
15.設不等式的解集為,且,.
(1)求的值;
(2)求函式的最小值.
解:(ⅰ)因為,且,所以,且
解得,又因為,所以
(ⅱ)因為
當且僅當,即時取得等號,所以的最小值為
16.已知》0,求證:
證明:∵
又∵>0,∴>0, ,
∴ ∴∴ 17.已知函式=,=.
(ⅰ)當=-2時,求不等式《的解集;
(ⅱ)設》-1,且當∈[,)時,≤,求的取值範圍.
【解】當=-2時,不等式《化為,
設函式=,=,
其影象如圖所示
從影象可知,當且僅當時,<0,∴原不等式解集是.
(ⅱ)當∈[,)時,=,不等式≤化為,
∴對∈[,)都成立,故,即≤,
∴的取值範圍為(-1,].
18.設函式，其中
（1）當a=1時，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集為，求a的值.
【解】（1）；（2）a=2
19.已知函式，且的解集為[-1,1].
（1）求m的值；
（2）若，且，求證：.
【解】（1）m=1
20.，求證
【思路分析】 應先將、、三個不失一般性地規定為
【略解】由於不等式關於、、對稱，可設
於是.由排序不等式，得（亂序和）.
及 以上兩個同向不等式相加再除以2，即得原式中第乙個不等式.再考慮陣列
，仿上可證第二個不等式，請讀者自己完成.
21. 設x，y，z r且，求x y z之最大值，最小值。
最大值7；最小值 3
【解】∵
由柯西不等式知
[42 ()2 22] 25 1 (x y z 2)2 5 |x y z 2|
5 x y z 2 5 ∴ 3 x y z 7
故x y z之最大值為7，最小值為 3
22. 求2sin cos sin cos cos 的最大值與最小值。
最大值為，最小值為
【詳解】令向量 (2sin， cos， cos)， (1，sin，cos)
由柯西不等式得
| 2sin cos sin cos cos | ，
所求最大值為，最小值為
不等式選講
1 設f x 2x 1 x 1 1 求f x 0的解集 2 當x 1時，f x f a 求實數a的取值範圍 2 已知函式f x x 3 2，g x x 1 4.1 若函式f x 的值不大於1，求x的取值範圍 2 若不等式f x g x m 1的解集為r，求m的取值範圍 3 已知函式f x x x 3...
不等式問題選講
例1 集合 若 a，b m 且對m中的其它元素 c，d 總有c a，則a 例2 己知三個不等式 1 若同時滿足 的值也滿足 求m的取值範圍 2 若滿足的 值至少滿足 和 中的乙個，求m的取值範圍。例3.已知對於自然數a，存在乙個以a為首項係數的整係數二次三項式，它有兩個小於1的正根，求證 a 5 例...
16 不等式選講
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