不等式的基本知識
（一）不等式與不等關係
1、應用不等式（組）表示不等關係；
不等式的主要性質：
(1)對稱性： (2)傳遞性：
(3)加法法則：； (同向可加)
(4)乘法法則：；
(同向同正可乘)
(5)倒數法則： (6)乘方法則：
(7)開方法則：
2、應用不等式的性質比較兩個實數的大小：作差法（作差——變形——判斷符號——結論）
3、應用不等式性質證明不等式
（二）解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
設相應的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：
2、簡單的一元高次不等式的解法：
標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，並使每乙個因式中最高次項的係數為正；（2）將每乙個一次因式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；並注意奇穿偶不穿；（3）根據曲線顯現的符號變化規律，寫出不等式的解集。
3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分並將分子分母分解因式，並使每乙個因式中最高次項的係數為正，最後用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。
4、不等式的恆成立問題：常應用函式方程思想和「分離變數法」轉化為最值問題
若不等式在區間上恆成立,則等價於在區間上
若不等式在區間上恆成立,則等價於在區間上
（三）線性規劃
1、用二元一次不等式（組）表示平面區域
二元一次不等式ax+by+c＞0在平面直角座標系中表示直線ax+by+c=0某一側所有點組成的平面區域.（虛線表示區域不包括邊界直線）
2、二元一次不等式表示哪個平面區域的判斷方法
由於對在直線ax+by+c=0同一側的所有點()，把它的座標（)代入ax+by+c，所得到實數的符號都相同，所以只需在此直線的某一側取一特殊點（x0,y0)，從ax0+by0+c的正負即可判斷ax+by+c＞0表示直線哪一側的平面區域.（特殊地，當c≠0時，常把原點作為此特殊點）
3、線性規劃的有關概念：
①線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變數x、y的約束條件，這組約束條件都是關於x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件．
②線性目標函式：
關於x、y的一次式z=ax+by是欲達到最大值或最小值所涉及的變數x、y的解析式，叫線性目標函式．
③線性規劃問題：
一般地，求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題．
④可行解、可行域和最優解：
滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解組成的集合叫做可行域．
使目標函式取得最大或最小值的可行解叫線性規劃問題的最優解．
4、求線性目標函式**性約束條件下的最優解的步驟：
（1）尋找線性約束條件，列出線性目標函式；
（2）由二元一次不等式表示的平面區域做出可行域；
（3）依據線性目標函式作參照直線ax+by＝0，在可行域內平移參照直線求目標函式的最優解
（四）基本不等式
1．若a,b∈r,則a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時取等號.
2．如果a,b是正數，那麼
變形： 有:a+b≥；ab≤,當且僅當a=b時取等號.
3．如果a,b∈r+,a·b=p(定值),當且僅當a=b時,a+b有最小值;
如果a,b∈r+,且a+b=s(定值),當且僅當a=b時,ab有最大值.
注：（1）當兩個正數的積為定值時，可以求它們和的最小值，當兩個正數的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂「積定和最小，和定積最大」．
（2）求最值的重要條件「一正，二定，三取等」
4.常用不等式有：（1）(根據目標不等式左右的運算結構選用) ；（2）a、b、cr，（當且僅當時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。
不等式主要題型講解
（一） 不等式與不等關係
題型二：比較大小（作差法、函式單調性、中間量比較，基本不等式）
1. 設，，，試比較的大小
（二） 解不等式
題型三：解不等式
解不等式3 .
2. 不等式的解集為，則=_____, b=_______
3. 關於的不等式的解集為，則關於的不等式的解集為
題型四：恆成立問題
4. 關於x的不等式a x2+ a x+1＞0 恆成立，則a的取值範圍是
5. 若不等式對的所有實數都成立，求的取值範圍.
6. 已知且，求使不等式恆成立的實數的取值範圍。
（三）基本不等式
題型五：求最值
7. 求下列函式的值域
（1）y＝3x 22）當時，求的最大值。
8. （耐克函式型）求的值域。
注意：在應用基本不等式求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函式的單調性。
9. （用耐克函式單調性）求函式的值域。
（1） 若實數滿足，則的最小值是
（2） 已知，且，求的最小值。
（3） 已知x，y為正實數，且x 2＋＝1，求x的最大值.
（4） 已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函式y＝的最小值.
題型六：利用基本不等式證明不等式
10. 已知為兩兩不相等的實數，求證：
11. 已知a、b、c，且。求證：
（四）線性規劃
題型八：目標函式求最值
12. 滿足不等式組，求目標函式的最大值
13. 已知滿足約束條件： ,則的最小值是
14. 已知變數（其中a>0）僅在點（3，0）處取得最大值，則a的取值範圍為
15. 已知實數滿足如果目標函式的最小值為，則實數等於（ ）
題型九：實際問題
某餅店製作的豆沙月餅每個成本35元，售
價50元；鳳梨月餅每個成本20元，售價30元。現在要將這兩種月餅裝成一盒，個數不超過10個，售價不超過350元，問豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個，可使利潤最大？又利潤最大為多少？
複習――不等式的基本知識參***
高中數學必修內容練習---不等式
16. ②③⑥⑦⑧；
17. ；
18. 當或時，1+＞；當時，1+＜；當時，1+＝
19. ∵∴
（ ∴r>q>p。
20.21. 或；
22. ）；
23. 不等式的解集為，則=___-6____, b=__6_____
24. ）.
25. 解：當a＝0時，不等式的解集為； 2分
當a≠0時，a(x－)(x－1)＜0；當a＜0時，原不等式等價於(x－)(x－1)＞0
不等式的解集為； 6分
當0＜a＜1時，1＜，不等式的解集為； 8分
當a＞1時，＜1，不等式的解集為； 10分
當a＝1時，不等式的解為φ． 12分
26. _____0≤x＜4________
27. ）
28.29. 解：（1）y＝3x 2＋≥2＝∴值域為[，+∞）
（2）當x＞0時，y＝x＋≥2＝2；
當x＜0時， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2
∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）
30. （1）解，
當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。
（2）當，即x＝2時取等號當x＝2時，的最大值為8。
31. 解析一：
當,即時, （當且僅當x＝1時取「＝」號）。
解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。
當,即t=時, （當t=2即x＝1時取「＝」號）。
32. 解：令，則
因，但解得不在區間，故等號不成立，考慮單調性。
因為在區間單調遞增，所以在其子區間為單調遞增函式，故。
所以，所求函式的值域為。
33. （條件不等式）
（5） 解：都是正數，≥
當時等號成立，由及得即當時，的最小值是6．
（6） 解：，
當且僅當時，上式等號成立，又，可得時，
（7） 解：x＝x＝x·
下面將x，分別看成兩個因式：
x·≤＝＝ 即x＝·x≤
（8） 解：法一：a＝， ab＝·b＝
由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
∴ ab≤18 ∴ y≥當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 ∴ 30－ab≥2
令u＝ 則u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
∴≤3，ab≤18，∴y≥
34. 已知為兩兩不相等的實數，求證：
35. 正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
36. 已知a、b、c，且。求證：
證明： a、b、c，。。同理，。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得
。當且僅當時取等號。
37. 解： 若設汙水池長為x公尺，則寬為 （公尺）
水池外圈周壁長： （公尺）
中間隔牆長： （公尺）
池底面積：200（公尺2）
目標函式：
38. 4
39.40. 1
4142. 5
解：設一盒內放入x個豆沙月餅，y個鳳梨月餅，利潤為z元
則x，y必須滿足，
目標函式為z＝15x＋10y
高一不等式知識點和練習
一 不等式的性質 1 對稱性 2 傳遞性 3 加法法則 4 乘法法則 5 倒數法則 6 乘方法則 7 開方法則 4.公式 二 解不等式 1 一元一次不等式 2 一元二次不等式 一元二次不等式的求解流程 一化 化二次項前的係數為正數.二判 判斷對應方程的根.三求 求對應方程的根.四畫 畫出對應函式的圖...
高中不等式知識點總結
1 不等式的基本性質 對稱性 傳遞性 可加性 同向可加性 異向可減性 同向正數可乘性 異向正數可除性 平方法則 開方法則 倒數法則 2 幾個重要不等式 當且僅當時取號 變形公式 基本不等式 當且僅當時取到等號 變形公式 用基本不等式求最值時 積定和最小，和定積最大 要注意滿足三個條件 一正 二定 三...
中考數學知識點 不等式和不等式組
5.不等式和不等式組 分類 004060 5.1.1.不等式的概念 用不等號表示不等關係的式子，叫做不等式 如 3 44 3，等都是不等式 五種不等號的讀法及意義 1 讀作 不等於 它說明兩個量之間的關係是不相等的，但不能明確哪個大哪個小 2 讀作 大於 表示其左邊的量比右邊的量大 3 讀作 小於 ...