不等式知識要點
1.平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均（a、b為正數）：
（當a = b時取等）
特別地，（當a = b時，）
例1．數軸穿根法：不等式的解為（ ）
a．－1c．x=4或－3求定義域的時候不要寫成並集；分子分母同時約去一項前必須先保證約去的一項不為零
例2．解關於的不等式：
分析：本例主要複習含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關鍵不是對引數進行討論，而是去絕對值時必須對末知數進行討論，得到兩個不等式組，最後對兩個不等式組的解集求並集，得出原不等式的解集。
解：當。
？例3． 己知三個不等式：① ②③
(1)若同時滿足①、②的值也滿足③，求m的取值範圍；
(2)若滿足的③值至少滿足①和②中的乙個，求m的取值範圍。
分析：本例主要綜合複習整式、分式不等式和含絕對值不等的解法，以及數形結合思想，解本題的關鍵弄清同時滿足①、②的值的滿足③的充要條件是：③對應的方程的兩根分別在和內。
不等式和與之對應的方程及函式圖象有著密不可分的內在聯絡，在解決問題的過程中，要適時地聯絡它們之間的內在關係。
解：記①的解集為a，②的解集為b，③的解集為c。
解①得a=（-1，3）；解②得b=
（1） 因同時滿足①、②的值也滿足③，abc
設，由的圖象可知：方程的小根小於0，大根大於或等於3時，即可滿足
（2） 因滿足③的值至少滿足①和②中的乙個，因此小根大於或等於-1，大根小於或等於4，因而
說明：同時滿足①②的x值滿足③的充要條件是：③對應的方程2x+mx-1=0的兩根分別在(-∞，0)和[3，+∞)內，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否則不能對a∩b中的所有x值滿足條件．不等式和與之對應的方程及圖象是有著密不可分的內在聯絡的，在解決問題的過程中，要適時地聯絡它們之間的內在關係．
例6．若二次函式y=f(x)的圖象經過原點，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的範圍．
分析：要求f(-2)的取值範圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由於y=f(x)是二次函式，所以應先將f(x)的表達形式寫出來．即可求得f(-2)的表示式，然後依題設條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．
解：因為y=f(x)的圖象經過原點，所以可設y=f(x)=ax2+bx．於是
解法一(利用基本不等式的性質)
不等式組(ⅰ)變形得
(ⅰ)所以f(-2)的取值範圍是[6，10]．
解法二(數形結合)
建立直角座標系aob，作出不等式組(ⅰ)所表示的區域，如圖6中的陰影部分．因為f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當直線4a-2b-f(-2)=0過點a(2，1)，b(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值範圍是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4
所以 3≤3f(-1)≤6
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
說明：(1)在解不等式時，要求作同解變形．要避免出現以下一種錯解：
2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
常見題型：
例1．已知（為常數），，求的最小值．
例2．已知，且，求的最小值．
例3．當時，求證：．
例4． 在某兩個正數之間插入乙個正數，使成等比數列；若另外插入兩個正數，使成等差數列，求證：．
大家來挑錯！
分析：結合上一系列題目中的（5）-（7）題可知，本題的解答忽略了對基本不等式使用時必須是正數這一點注意事項。
本題的解答在使用基本不等式時沒有找到定值條件，只是盲目的套用基本不等式的形式，導致所得結果並不是最小的值。
提醒同學注意：在使用基本不等式求最值為題時，式中的積或和必須是定值。
本題的解答沒有注意本身的限制，使得基本不等式的等號無法取得。
提醒同學注意：最值是否存在要考慮基本不等式中的等號是否能取得，在什麼情況下取得
(x+y)()≥≥9. （想一想錯在何處？）
例4（2007山東卷）函式的圖象恆過定點,若點在直線上,其中,則的最小值為_______.
【思路點撥】先用恆過定點這一條件建立乙個關係式, 再用均值不等式求最值.
【解析】∵函式的圖象恆過定點，
∴，即，，
∴【點評】本題是用函式、方程作為隱性條件建立等量關係式，利用均值不等式求最值的問題.題目小巧而靈活多變，是立意很好的題目.
含絕對值的不等式解法
（一）主要知識：
1．絕對值的幾何意義：是指數軸上點到原點的距離；是指數軸上兩點間的距離
2．當時，或，
； 當時，，．
（二）主要方法：
1．解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號，將其等價轉化為一元一次（二次）不等式（組）進行求解；
2．去掉絕對值的主要方法有：
（1）公式法：，或．
（2）定義法：零點分段法；
（3）平方法：不等式兩邊都是非負時，兩邊同時平方．
（三）例題分析：
例1．解下列不等式：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）原不等式可化為或，∴原不等式解集為．
（2）原不等式可化為，即，∴原不等式解集為．
（3）當時，原不等式可化為，∴，此時；
當時，原不等式可化為，∴，此時；
當時，原不等式可化為，∴，此時．
綜上可得：原不等式的解集為．
例2．（1）對任意實數，恆成立，則的取值範圍是；
（2）對任意實數，恆成立，則的取值範圍是．
解：（1）可由絕對值的幾何意義或的圖象或者絕對值不等式的性質得，∴；
（2）與（1）同理可得，∴．
高中數學不等式知識點
考綱要求 會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程式框圖 3 二元一次不等式組與簡單線性規劃問題 線性規劃中的幾個概念 1 不等式組 是一組對變數x y的約束條件。2 函式z 2x y為目標函式。3 滿足線性約束條件的解 x y 叫做可行解。4 所有可行解組成的集合叫做可行域。5 ...
高中數學不等式知識點總結
選修4 5知識點 1 不等式的基本性質 對稱性 傳遞性 可加性 同向可加性 異向可減性 可積性 同向正數可乘性 異向正數可除性 平方法則 開方法則 倒數法則 2 幾個重要不等式 當且僅當時取號 變形公式 當且僅當時取到等號 當且僅當時取到等號 三個正數的算術 幾何平均不等式 當且僅當時取到等號 當且...
高中數學 均值不等式
均值不等式歸納總結 1.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 2.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 3 若，則 當且僅當時取 3.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 4.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 5.若，則 當且僅當時取 應用一 求最值 例1 求下...