幾種常見解不等式的解法
重難點歸納
(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法
(2)掌握用零點分段法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法
(3)掌握無理不等式的三種型別的等價形式，指數和對數不等式的幾種基本型別的解法
(4)掌握含絕對值不等式的幾種基本型別的解法
(5)對於含字母的不等式，進行分類討論
典型題例
例1已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函式，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0時＞0
(1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函式；
(2)解不等式 f(x+)＜f()；
(3)若f(x)≤t2－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恆成立，求實數t的取值範圍
例2設不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為m，如果m［1，4］，求實數a的取值範圍
例3解關於x的不等式＞1(a≠1)
鞏固練習
1 設函式f(x)=，已知f(a)＞1，則a的取值範圍是( )
a (－∞，－2b (－，)
c (－∞，－2)∪(－，1d (－2，－)∪(1，+∞)
2 已知f(x)、g(x)都是奇函式，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(，)，則f(x)·g(x)＞0的解集是
3 已知關於x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，則a的取值範圍是_______
4 已知適合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值為3
(1)求p的值；(2)若f(x)=，解關於x的不等式f-－1(x)＞(k∈r+)
5 設f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，問是否存在a、b、c∈r，使得不等式 x2+≤f(x)≤2x2+2x+對一切實數x都成立，證明你的結論
6 已知函式f(x)=x2+px+q，對於任意θ∈r，有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥2
(1)求p、q之間的關係式；(2)求p的取值範圍；
(3)如果f(sinθ+2)的最大值是14，求p的值並求此時f(sinθ)的最小值
7 解不等式loga(x－)＞1
8 設函式f(x)=ax滿足條件當x∈(－∞，0)時，f(x)＞1；當x∈(0，1時，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恆成立，求實數m的取值範圍
關於不等式證明的常用方法
重難點歸納
(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述如果作差以後的式子可以整理為關於某乙個變數的二次式，則考慮用判別式法證
(2)綜合法是由因導果，而分析法是執果索因
2 不等式證明還有一些常用的方法換元法、放縮法、反證法、函式單調性法、判別式法、數形結合法等換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法凡是含有「至少」「惟一」或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法
典型題例
例1證明不等式(n∈n*)
知識依託本題是乙個與自然數n有關的命題，首先想到應用數學歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構造法等
例2求使≤a (x＞0，y＞0)恆成立的a的最小值
知識依託該題實質是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含於恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關性質把a呈現出來，等價轉化的思想是解決題目的突破口，然後再利用函式思想和重要不等式等求得最值
例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求證 (a+)(b+)≥
證法一 (分析綜合法） 證法二 (均值代換法) 證法三 (比較法） 證法四 (綜合法) 證法五 (三角代換法）
鞏固練習
1 已知x、y是正變數,a、b是正常數,且=1，x+y的最小值為 _
2 設正數a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關係是
3 若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是
4 已知a，b，c為正實數，a+b+c=1 求證
(1)a2+b2+c2≥(2)≤6
5 已知x，y，z∈r，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，證明 x，y，z∈［0，］
6 證明下列不等式
(1)若x，y，z∈r，a，b，c∈r+，則z2≥2(xy+yz+zx)
(2)若x，y，z∈r+，且x+y+z=xyz，則≥2()
7 已知i，m、n是正整數，且1＜i≤m＜n
(1)證明 nia＜mia (2)證明 (1+m)n＞(1+n)m
8 若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求證 a+b≤2，ab≤1
不等式知識的綜合應用
典型題例
例1用一塊鋼錠燒鑄乙個厚度均勻，且表面積為2平方公尺的正四稜錐形有蓋容器(如右圖)設容器高為h公尺，蓋子邊長為a公尺，
(1)求a關於h的解析式；
(2)設容器的容積為v立方公尺，則當h為何值時，v最大？求出v的最大值(求解本題時，不計容器厚度)
知識依託本題求得體積v的關係式後，應用均值定理可求得最值
例2已知a，b，c是實數，函式f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當－1≤x≤1時|f(x)|≤1
(1)證明 |c|≤1；
(2)證明當－1 ≤x≤1時，|g(x)|≤2；
(3)設a＞0，有－1≤x≤1時， g(x)的最大值為2，求f(x)
知識依託二次函式的有關性質、函式的單調性，絕對值不等式
例3設二次函式f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的兩個根x1、x2滿足0＜x1＜x2＜
(1)當x∈［0，x1時，證明x＜f(x)＜x1；
(2)設函式f(x)的圖象關於直線x=x0對稱，證明 x0＜
鞏固練習
1 定義在r上的奇函式f(x)為增函式，偶函式g(x)在區間［0，+∞)的圖象與f(x)的圖象重合，設a＞b＞0，給出下列不等式，其中正確不等式的序號是( )
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
abcd ②③
2 下列四個命題中 ①a+b≥2 ②sin2x+≥4 ③設x，y都是正數，若=1，則x+y的最小值是12 ④若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，則|x－y|＜2ε，其中所有真命題的序號是
4 已知二次函式 f(x)=ax2+bx+1(a，b∈r，a＞0)，設方程f(x)=x的兩實數根為x1，x2
(1)如果x1＜2＜x2＜4，設函式f(x)的對稱軸為x=x0，求證x0＞－1；
(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值範圍
6 設函式f(x)定義在r上，對任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且當x＞0時，0＜f(x)＜1
(1)求證 f(0)=1，且當x＜0時，f(x)＞1；
(2)求證 f(x)在r上單調遞減；
(3)設集合a=，集合b=，若a∩b=，求a的取值範圍
7 已知函式f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］，
(1)求b、c的值；
(2)判斷函式f(x)=lgf(x)，當x∈［－1，1］時的單調性，並證明你的結論；
(3)若t∈r，求證 lg≤f(|t－|－|t+|)≤lg
數列與不等式的交匯題型分析及解題策略
【命題趨向】
數列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現，試題還可能涉及到與導數、函式等知識綜合一起考查.主要考查知識數列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關係、等差數列和等比數列、歸納與猜想、數歸納法、比較大小、不等式證明、引數取值範圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應用.
【典例分析】
題型一求有數列參與的不等式恆成立條件下引數問題
求得數列與不等式結合恆成立條件下的引數問題主要兩種策略：(1)若函式f(x)在定義域為d，則當x∈d時，有f(x)≥m恆成立f(x)min≥m；f(x)≤m恆成立f(x)max≤m；(2)利用等差數列與等比數列等數列知識化簡不等式，再通過解不等式解得.
【例1】等比數列的公比q＞1，第17項的平方等於第24項，求使a1＋a2＋…＋an＞＋＋…＋恆成立的正整數n的取值範圍.
【例2】（08·全國ⅱ）設數列的前項和為sn．已知a1＝a，an+1＝sn＋3n，n∈n*．
(ⅰ)設bn＝sn－3n，求數列的通項公式；（ⅱ）若an+1≥an，n∈n*，求a的取值範圍．
【點評】 一般地，如果求條件與前n項和相關的數列的通項公式，則可考慮sn與an的關係求解
題型二數列參與的不等式的證明問題
此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴大或縮小、項數的增加與減少等手段達到證明的目的.
【例3】 已知數列是等差數列，其前n項和為sn，a3＝7，s4＝24．(ⅰ)求數列的通項公式；(ⅱ)設p、q都是正整數，且p≠q，證明：sp+q＜(s2p＋s2q)．
【點評】 利用差值比較法比較大小的關鍵是對作差後的式子進行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.
【例4】 (08·安徽高考)設數列滿足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈n*，其中c為實數.(ⅰ)證明：an∈[0，1]對任意n∈n*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；(ⅱ)設0＜c＜，證明：
an≥1－(3c)n1，n∈n*；（ⅲ）設0＜c＜，證明：a12＋a22＋…＋an2＞n＋1－，n∈n*.
高中數學 均值不等式
均值不等式歸納總結 1.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 2.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 3 若，則 當且僅當時取 3.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 4.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 5.若，則 當且僅當時取 應用一 求最值 例1 求下...
高中數學不等式證明典型例題
例1 若，證明 且 分析1 用作差法來證明 需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然後比較法證明 解法1 1 當時，因為，所以 2 當時，因為 所以 綜合 1 2 知 分析2 直接作差，然後用對數的性質來去絕對值符號 解法2 作差比較法 因為，所以 例2 設，求證 證明 又 例3 對於任意實數 求證 當...
均值不等式與不等式的證明
一 已知不等式的關係，求目標式的取值範圍 例1 2010遼寧理14 已知的取值範圍變式1 已知且，求的範圍。變式2 2010江蘇12 設為實數，滿足則的最大值是二 利用均值不等式求函式的最值 利用均值不等式求最值要注意條件的驗證 例1 1 若，求函式的最小值 2 若，求函式的值域 變式1.1 求函式...