∴當直線z＝5x＋4y經過點a時，z取到最大值，
且zmax＝5×＋4×＝18.
問題2 當變數x，y滿足時，求z＝5x＋4y的最大值及最優解．
解若不考慮x∈z，y∈z，則當直線經過點a時，z＝18，∵x∈z，y∈z，∴z∈z.
令z＝18，則5x＋4y＝18.
∵4y為偶數，18為偶數，∴5x為偶數，∴x為偶數．
結合可行域可知x＝2，從而y＝2.
經檢驗(2,2)在可行域內．
從而，zmax＝18，最優解為(2,2)．
【典型例題】
例1 某家具廠有方木料90 m3，五合板600 m2，準備加工成書桌和書櫥**．已知生產每張書桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生產每個書櫥需要方木料0.2 m3，五合板
1 m2，**一張方桌可獲利潤80元，**乙個書櫥可獲利潤120元．
(1)如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？
(2)如果只安排生產書櫥，可獲利潤多少？
(3)怎樣安排生產可使所得利潤最大？
解由題意可畫**如下：
(1)設只生產書桌x個，可獲得利潤z元，
則x≤300.
所以當x＝300時，zmax＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生產書桌，最多可生產300張書桌，獲得利潤24 000元．
(2)設只生產書櫥y個，可獲得利潤z元，
則y≤450.
所以當y＝450時，zmax＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生產書櫥，最多可生產450個書櫥，獲得利潤54 000元．
(3)設生產書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元，
則z＝80x＋120y.
在直角座標平面內作出上面不等式組所表
示的平面區域，即可行域．
作直線l：80x＋120y＝0，
即直線l：2x＋3y＝0.
把直線l向右上方平移至l1的位置時，直
線經過可行域上的點m，
此時z＝80x＋120y取得最大值．
由解得點m的座標為(100,400)．
所以當x＝100，y＝400時，
zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元)．
因此，生產書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大．
小結利用**法解決線性規劃實際問題，要注意合理利用**，處理繁雜的資料；另一方面約束條件要注意實際問題的要求，如果要求整點，則用逐步平移法驗證．
跟蹤訓練1 某工廠有甲、乙兩種產品，按計畫每天各生產不少於15噸，已知生產甲產品1噸需煤9噸，電力4千瓦，勞動力3個(按工作日計算)；生產乙產品1噸需煤4噸，電力5千瓦，勞動力10個；甲產品每噸價7萬元，乙產品每噸價12萬元；但每天用煤量不得超過300噸，電力不得超過200千瓦，勞動力只有300個，當每天生產甲產品________噸，乙產品______噸時，既能保證完成生產任務，又能使工廠每天的利潤最大．
解析設每天生產甲產品x噸，乙產品y噸，總利潤為s萬元，
依題意約束條件為
目標函式為s＝7x＋12y
從圖中可以看出，當直線s＝7x＋12y經過點a時，直線的縱截距最大，所以s也取最大值．
解方程組得a(20,24)，
故當x＝20，y＝24時，**ax＝7×20＋12×24＝428(萬元)
答案 20 24
例2 要將兩種大小不同的鋼板截成a、b、c三種規格，每張鋼板可同時截得三種規格的小鋼板的塊數如下表所示：
今需要a、b、c三種規格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規格成品，且使所用鋼板張數最少？
分析解決簡單線性規劃應用題的關鍵是(1)找出線性約束條件和目標函式；(2)準確畫出可行域；(3)利用幾何意義，求出最優解．
解設需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張．
.作出可行域如圖(陰影部分)
目標函式為z＝x＋y，作出一族平行直線x＋y＝t，其中經過可行域內的點且和原點距離最近的直線，經過直線x＋3y＝27和直線2x＋y＝15的交點a，
直線方程為x＋y＝.由於和都不是整數，而最優解(x，y)中，x，y必須都是整數，
所以可行域內點a不是最優解．
經過可行域內的整點且與原點距離最近的直線是x＋y＝12，
經過的整點是b(3,9)和c(4,8)，它們都是最優解．
答要截得所需三種規格的鋼板，且使所截兩種鋼板的張數最少的方法有兩種：第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張．兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張．
小結在實際應用問題中，有些最優解往往需要整數解(比如人數、車輛數等)，而直接根據約束條件得到的不一定是整數解，可以運用列舉法驗證求最優整數解，或者運用平移直線求最優整數解．最優整數解有時並非只有乙個，很可能是許多個，應具體情況具體分析．
跟蹤訓練2 某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件則z＝10x＋10y的最大值是____90____．
解析該不等式組表示平面區域
如圖陰影所示，
由於x，y∈n*，計算區域內與
點最近的整點為(5,4)，
當x＝5，y＝4時，z取得最大值為90.
1．畫圖對解決線性規劃問題至關重要，關鍵步驟基本上是在圖上完成的，所以作圖應盡可能準確，圖上操作盡可能規範．
2．在實際應用問題中，有些最優解往往需要整數解(比如人數、車輛數等)而直接根據約束條件得到的不一定是整數解，可以運用列舉法驗證求最優整數解，或者運用平移直線求最優整數解．最優整數解有時並非只有乙個，應具體情況具體分析．
※反饋鞏固學習單※
一、選擇題
1．某電腦使用者計畫使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟體和盒裝磁碟．根據需要，軟體至少買3片，磁碟至少買2盒，則不同的選購方式共有( )
a．5種b．6種c．7種d．8種
【答案】：c
2．若x、y滿足約束條件目標函式z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，則a的取值範圍是
a．(－1,2b．(－4,2c．(－4,0d．(－2,4)
【答案】：b
3．某公司有60萬元資金，計畫投資甲、乙兩個專案，按要求對專案甲的投資不小於對專案乙投資的倍，且對每個專案的投資不能低於5萬元，對專案甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對專案乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規劃投資後，在這兩個專案上共可獲得的最大利潤為
a．36萬元b．31.2萬元c．30.4萬元d．24萬元
【答案】：b
4．某廠生產甲產品每千克需用原料a和原料b分別為a1、b1千克，生產乙產品每千克需用原料a和原料b分別為a2、b2千克，甲、乙產品每千克可獲利潤分別為d1、d2元．月初一次性購進本月用的原料a、b各c1、c2千克，要計畫本月生產甲產品和乙產品各多少千克才能使月利潤總額達到最大．在這個問題中，設全月生產甲、乙兩種產品分別為x千克、y千克，月利潤總額為z元，那麼，用於求使總利潤z＝d1x＋d2y最大的數學模型中，約束條件為( )
a. b.
c. d.
答案 c
解析比較選項可知c正確．
5. 如圖所示的座標平面的可行域內(陰影部分且包括邊界)，若使目標函式z＝ax＋y (a>0)取得最大值的最優解有無窮多個，則a的值為( )
《3 3 2簡單的線性規劃問題》教案
簡單的線性規劃 學習內容總析 線性規劃位於不等式和直線方程的結合點上，是培養學生轉化能力和熟練運用數形結合能力的重要內容。這一節的知識內容形成了一條結構緊密的知識鏈條 以二元一次不等式 組 表示的平面區域為基礎，根據實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函式，利用 法解決簡單的線性規劃問題。學情總...
3 3 2簡單的線性規劃問題 學案
3.3.2簡單的線性規劃問題 一 學習目標 1 了解線性規劃的意義以及線性約束條件 線性目標函式 可行解 可行域 最優解等線性規劃概念 2 會 性約束條件下求線性目標函式的最優解 3 了解線性規劃問題的 法。二 知識梳理 1 線性約束條件 不等式組是一組變數x y的約束條件，這組約束條件都是關於x ...
332簡單的線性規劃問題檢測試題
3.3.2簡單的線性規劃問題 檢測試題 雙基達標 限時20分鐘 1 目標函式z 4x y，將其看成直線方程時，z的幾何意義是 a 該直線的截距 b 該直線的縱截距 c 該直線的橫截距 d 該直線的縱截距的相反數 解析 把z 4x y變形為y 4x z，則此方程為直線方程的斜截式，所以z為該直線的縱截...