簡單的線性規劃

教學目標

（1）使學生了解並會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域；

（2）了解線性規化的意義以及線性約束條件、線性目標函式、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；

（3）了解線性規化問題的**法，並能應用它解決一些簡單的實際問題；

（4）培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生「建模」和解決實際問題的能力；

（5）結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和「用數學」的意識，激勵學生勇於創新．

教學建議

一、知識結構

教科書首先通過乙個具體問題，介紹了二元一次不等式表示平面區域．再通過乙個具體例項，介紹了線性規化問題及有關的幾個基本概念及一種基本解法－**法，並利用幾道例題說明線性規化在實際中的應用．

二、重點、難點分析

本小節的重點是二元一次不等式（組）表示平面的區域．

對學生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區域是乙個比較陌生、抽象的概念，按高二學生現有的知識和認知水平難以透徹理解，因此學習二元一次不等式（組）表示平面的區域分為兩個大的層次：

（1）二元一次不等式表示平面區域．首先通過建立新舊知識的聯絡，自然地給出概念．明確二元一次不等式在平面直角座標系中表示直線某一側所有點組成的平面區域不包含邊界直線（畫成虛線）．其次再擴大到所表示的平面區域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實線．

（2）二元一次不等式組表示平面區域．在理解二元一次不等式表示平面區域含義的基礎上，畫不等式組所表示的平面區域，找出各個不等式所表示的平面區域的公共部分．這是學生對代數問題等價轉化為幾何問題以及數學建模方法解決實際問題的基礎．

難點是把實際問題轉化為線性規劃問題，並給出解答．

對許多學生來說，從抽象到的化歸並不比從具體到抽象遇到的問題少，學生解數學應用題的最常見困難是不會將實際問題提煉成數學問題，即不會建模．所以把實際問題轉化為線性規劃問題作為本節的難點，並緊緊圍繞如何引導學生根據實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函式，然後利用**法求出最優解作為突破這個難點的關鍵．

對學生而言解決應用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關係；②不能分清問題的主次關係，因而抓不住問題的本質，無法建立數學模型；③孤立地考慮單個的問題情景，不能多方聯想，形成正遷移．針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素，將本課設計為計算機輔助教學，從而將實際問題鮮活直觀地展現在學生面前，以利於理解；分析完題後，能夠抓住問題的本質特徵，從而將實際問題抽象概括為線性規劃問題．另外，利用計算機可以較快地幫助學生掌握尋找整點最優解的方法．

三、教法建議

（1）對學生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區域是乙個比較陌生的概念，不象二元一次方程表示直線那樣已早有所知，為使學生對這一概念的引進不感到突然，應建立新舊知識的聯絡，以便自然地給出概念

（2）建議將本節新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的是為了分散難點，層層遞進，突出重點，只要學生對舊知識掌握較好，完全有可能由學生主動去探求新知，得出結論．

（3）要舉幾個典型例題，特別是似是而非的例子，對理解二元一次不等式（組）表示的平面區域的含義是十分必要的．

（4）建議通過本節教學著重培養學生掌握「數形結合」的數學思想，儘管側重於用「數」研究「形」，但同時也用「形」去研究「數」，這對培養學生觀察、聯想、猜測、歸納等數學能力是大有益處的．

（5）對作業、思考題、研究性題的建議：①作業主要訓練學生規範的解題步驟和作圖能力；②思考題主要供學有餘力的學生課後完成；③研究性題綜合性較大，主要用於拓寬學生的思維．

（6）若實際問題要求的最優解是整數解，而我們利用**法得到的解為非整數解（近似解），應作適當的調整，其方法應以與線性目標函式的直線的距離為依據，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點，不要在用**法所得到的近似解附近尋找．

如果可行域中的整點數目很少，採用逐個試驗法也可．

（7）**性規劃的實際問題中，主要掌握兩種型別：一是給定一定數量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源能使完成的任務量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務問怎樣統籌安排，能使完成的這項任務耗費的人力、物力資源最小．

線性規劃教學設計方案（一）

教學目標

使學生了解並會作二元一次不等式和不等式組表示的區域．

重點難點

了解二元一次不等式表示平面區域．

教學過程

【引入新課】

我們知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直線上的點集，那麼在平面座標系中，二元一次不等式的解集的意義是什麼呢？

【二元一次不等式表示的平面區域】

1．先分析乙個具體的例子

我們知道，在平面直角座標系中，以二元一次方程的解為座標的點的集合是經過點（0，1）和（1，0）的一條直線l（如圖）那麼，以二元一次不等式（即含有兩個未知數，且未知數的最高次數都是1的不等式）的解為座標的點的集合是什麼圖形呢？

在平面直角座標系中，所有點被直線l分三類：①在l上；②在l的右上方的平面區域；③在l的左下方的平面區域（如圖）取集合a的點（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我們發現這些點都在l的右上方的平面區域，而點（0，0）、（－1，－1）等等不屬於a，它們滿足不等式，這些點卻在l的左下方的平面區域．

由此我們猜想，對直線l右上方的任意點成立；對直線l左下方的任意點成立，下面我們證明這個事實．

在直線上任取一點，過點p作垂直於y軸的直線，在此直線上點p右側的任意一點，都有 ∴

於是所以因為點，是l上的任意點，所以，對於直線右上方的任意點，

都成立　　同理，對於直線左下方的任意點，

都成立　　所以，在平面直角座標系中，以二元一次不等式的解為座標的點的集點．

是直線右上方的平面區域（如圖）

類似地，在平面直角座標系中，以二元一次不等式的解為座標的點的集合是直線左下方的平面區域．

2．二元一次不等式和表示平面域．

（1）結論：二元一次不等式在平面直角座標系中表示直線某一側所有點組成的平面區域．

把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線，若畫不等式就表示的面區域時，此區域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線．

（2）判斷方法：由於對在直線同一側的所有點，把它的座標代入，所得的實數的符號都相同，故只需在這條直線的某一側取乙個特殊點，以的正負情況便可判斷表示這一直線哪一側的平面區域，特殊地，當時，常把原點作為此特殊點．

【應用舉例】

例1 畫出不等式表示的平面區域

解；先畫直線（畫線虛線）取原點（0，0），代入，

∴ ∴ 原點在不等式表示的平面區域內，不等式表示的平面區域如圖陰影部分．

例2 畫出不等式組

表示的平面區域

分析：在不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區域的公共部分．

解：不等式表示直線上及右上方的平面區域，表示直線上及右上方的平面區域，上及左上方的平面區域，所以原不等式表示的平面區域如圖中的陰影部分．

課堂練習

作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區域．

（1）（2）（3）

（4）（5）

總結提煉

1．二元一次不等式表示的平面區域．2．二元一次不等式表示哪個平面區域的判斷方法．

3．二元一次不等式組表示的平面區域．

布置作業

1．不等式表示的區域在的（）．

a．右上方 b．右下方 c．左上方 d．左下方

2．不等式表示的平面區域是（）．

3．不等式組表示的平面區域是（）．

4．直線右上方的平面區域可用不等式表示．

5．不等式組表示的平面區域內的整點座標是．

6．畫出表示的區域．

答案：1．b 2．d 3．b 4． 5．（－1，－1）6．

簡單的線性規劃

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簡單的線性規劃

簡單的線性規劃問題

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