錯解剖析得真知（十三）
一、知識導學
1. 目標函式: ｐ ＝２ｘ＋ｙ是乙個含有兩個變數 ｘ 和ｙ 的函式，稱為目標函式．
2.可行域:約束條件所表示的平面區域稱為可行域.
3. 整點:座標為整數的點叫做整點．
4.線性規劃問題:求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規劃問題．只含有兩個變數的簡單線性規劃問題可用**法來解決．
5. 整數線性規劃:要求量取整數的線性規劃稱為整數線性規劃．
二、疑難知識導析
線性規劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財力去最優地完成科學研究、工業設計、經濟管理中實際問題的專門學科.主要在以下兩類問題中得到應用：一是在人力、物力、財務等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給一項任務，如何合理安排和規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務.
1.對於不含邊界的區域，要將邊界畫成虛線．
2.確定二元一次不等式所表示的平面區域有多種方法，常用的一種方法是「選點法」：任選乙個不在直線上的點，檢驗它的座標是否滿足所給的不等式，若適合，則該點所在的一側即為不等式所表示的平面區域；否則，直線的另一側為所求的平面區域．若直線不過原點，通常選擇原點代入檢驗．
3. 平移直線 ｙ＝－kｘ ＋ｐ時，直線必須經過可行域．
4.對於有實際背景的線性規劃問題，可行域通常是位於第一象限內的乙個凸多邊形區域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點．
5.簡單線性規劃問題就是求線性目標函式**性約束條件下的最優解，無論此類題目是以什麼實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標函式；（2）由二元一次不等式表示的平面區域做出可行域；（3）在可行域內求目標函式的最優解.
三、經典例題導講
[例1] ．畫出不等式組表示的平面區域.
錯解：如圖（1）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區域.
錯因一是實虛線不清，二是部分不等式所表示的平面區域弄錯了.
正解：如圖（2）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區域.
[例2] 已知1x－y2,且2x+y4,求4x－2y的範圍.
錯解：由於 1x－y2 ①,
2x+y4 ②,
①+② 得32x6 ③
①×(－1)+② 得：02y3 ④.
③×2+④×(－1)得. 34x－2y12
錯因：可行域範圍擴大了.
正解：線性約束條件是：
令z＝4x－2y，
畫出可行域如圖所示，
由得a點座標（1.5，0.5）此時z＝4×1.5－2×0.5＝5.
由得b點座標（3，1）此時z＝4×3－2×1＝10.
54x－2y10
[例3] 已知,求x2+y2的最值.
錯解：不等式組表示的平面區域如圖所示abc的內部（包括邊界），
令z= x2+y2
由得a點座標（4，1），
此時z＝x2+y2＝42+12＝17，
由得b點座標（－1，－6），
此時z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，
由得c點座標（－3，2），
此時z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，
當時x2+y2取得最大值37，當時x2+y2取得最小值13.
錯因：誤將求可行域內的點到原點的距離的平方的最值誤認為是求三點a、b、c到原點的距離的平方的最值.
正解：不等式組表示的平面區域如圖所示abc的內部（包括邊界），
令z= x2+y2,則z即為點（x，y）到原點的距離的平方.
由得a點座標（4，1），
此時z＝x2+y2＝42+12＝17，
由得b點座標（－1，－6），
此時z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，
由得c點座標（－3，2），
此時z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，
而在原點處，，此時z＝x2+y2＝02+02＝0，
當時x2+y2取得最大值37，當時x2+y2取得最小值0.
[例4]某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準備加工成書桌和書櫥**.已知生產每張書桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生產每個書櫥需要方木料0.
2m3，五合板1m2，**一張書桌可獲利潤80元，**乙個書櫥可獲利潤120元.如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？如果只安排生產書櫥，可獲利潤多少？
怎樣安排生產可使得利潤最大？
分析： 資料分析列表
設生產書桌x張，書櫥y張，利潤z元，則約束條件為
目標函式z=80x+120y
作出上可行域：
作出一組平行直線2x+3y=t, 此直線經過點a（100，400）時，即合理安排生產，生產書桌100張，書櫥400張，有最大利潤為
zmax=80×100+400×120=56000(元)
若只生產書桌，得0z=80×300=24000（元）
若只生產書櫥，得0z=120×450=54000（元）
答：略[例5]某鋼材廠要將兩種大小不同的鋼板截成a、b、c三種規格，每張鋼板可同時截得三種規格小鋼板的塊數如下表：
每張鋼板的面積，第一種為1m2，第二種為2 m2，今需要a、b、c三種規格的成品各12、15、27塊，請你們為該廠計畫一下，應該分別截這兩種鋼板多少張，可以得到所需的三種規格成品，而且使所用鋼板的面積最小？只用第一種鋼板行嗎？
解：設需要截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，所用鋼板面積為z m2，則
目標函式z=x+2y
作出可行域如圖
作一組平行直線x+2y=t，
由可得交點，
但點不是可行域內的整點，其附近的整點（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，且zmin=4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20
若只截第一種鋼板，由上可知x≥27，所用鋼板面積最少為z=27(m2);若只截第二種鋼板，則y≥15，最少需要鋼板面積z=2×15=30(m2).它們都比zmin大，因此都不行.
答：略[例6]設，式中滿足條件，求的最大值和最小值.
解：由引例可知：直線與所在直線平行，則由引例的解題過程知，
當與所在直線重合時最大，此時滿足條件的最優解有無數多個，
當經過點時，對應最小，∴，．
說明：1．線性目標函式的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得；
2．線性目標函式的最值也可在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優解有無數多個.
四、典型習題導練
1．畫出不等式－+2y－4＜0表示的平面區域.
2．畫出不等式組表示的平面區域
3.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件
4.某工廠用兩種不同原料均可生產同一產品，若採用甲種原料，每噸成本1000元，運費500元，可得產品90千克；若採用乙種原料，每噸成本為1500元，運費400元，可得產品100千克，如果每月原料的總成本不超過6000元，運費不超過2000元，那麼此工廠每月最多可生產多少千克產品？
5.某工廠家具車間造a、b型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張a、b型桌子分別需要1小時和2小時，漆工油漆一張a、b型桌子分別需要3小時和1小時；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時，而工廠造一張a、b型桌子分別獲利潤2千元和3千元，試問工廠每天應生產a、b型桌子各多少張，才能獲得利潤最大？
6．（06年高考廣東）在約束條件下，當時，目標函式
的最大值的變化範圍是
a.[6,15] b.[7,15]
c.[6,8] d.[7,8]
§5.3 基本不等式的證明
一、知識導學
1.比較法：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法).
(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ」.其一般步驟為：
①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作乙個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為乙個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為乙個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：
根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論.應用範圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法.
(2)商值比較法的理論依據是：「若ａ，ｂ∈r+，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ」.其一般步驟為：
①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關係，就是判定商大於1或小於1.
應用範圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法.
2.綜合法：利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」.
即從已知ａ逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論ｂ.
3.分析法：是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」.
用分析法證明書寫的模式是：為了證明命題ｂ成立，只需證明命題ｂ1為真，從而有…，這只需證明ｂ2為真，從而又有…，……這只需證明ａ為真，而已知ａ為真，故ｂ必為真.這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件.
4.反證法：有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式ａ>ｂ，先假設ａ≤ｂ，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定ａ>ｂ.
凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法.
5.換元法：換元法是對一些結構比較複雜，變數較多，變數之間的關係不甚明了的不等式可引入乙個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法.
主要有兩種換元形式.(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較複雜，乙個變數不易用另乙個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同乙個引數表示.
此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯絡，將複雜的代數問題轉化為三角問題； (2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ進行換元.
簡單的線性規劃
教學目標 1 使學生了解並會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域 2 了解線性規化的意義以及線性約束條件 線性目標函式 線性規化問題 可行解 可行域以及最優解等基本概念 3 了解線性規化問題的 法，並能應用它解決一些簡單的實際問題 4 培養學生觀察 聯想以及作圖的能力，滲透...
簡單的線性規劃
3.3 簡單的線性規劃 導學案 姓名班級組別組名 學習目標 1 了解線性約束條件 線性目標函式 可行域 可行解 最優解的基本概念 2 理解明確線性規劃問題的解決方法 3 能用線性規劃的方法解決一些簡單的實際問題，並體會數學知識形成過程中所蘊涵的思想和方法。重點難點 重點 利用可行域求目標函式的最值問...
簡單的線性規劃
高一數學必修5 編號 sx 05 016 3.3 簡單的線性規劃 導學案 撰稿 許紅菊審核 高一數學組時間 2012年3月20日 姓名班級組別組名 學習目標 1 了解線性約束條件 線性目標函式 可行域 可行解 最優解的基本概念 2 理解明確線性規劃問題的解決方法 3 能用線性規劃的方法解決一些簡單的...