典型例題一
例1 畫出不等式組表示的平面區域．
分析：採用「**法」確定不等式組每一不等式所表示的平面區域，然後求其公共部分．
解：把，代入中得
∴ 不等式表示直線下方的區域（包括邊界），
即位於原點的一側，同理可畫出其他兩部分，不等式組所表示的區域如圖所示．
說明：「**法」是判別二元一次不等式所表示的區域行之有效的一種方法．
典型例題二
例2 畫出表示的區域，並求所有的正整數解．
分析：原不等式等價於而求正整數解則意味著，還有限制條件，即求．
解：依照二元一次不等式表示的平面區域，知表示的區域如下圖：
對於的正整數解，先畫出不等式組．所表示的平面區域，如圖所示．
容易求得，在其區域內的整數解為、、、、．
說明：這類題可以將平面直角座標係用網路線畫出來，然後在不等式組所表示的平面區域內找出符合題設要求的整數點來．
典型例題三
例3 求不等式組所表示的平面區域的面積．
分析：本題的關鍵是能夠將不等式組所表示的平面區域作出來，判斷其形狀進而求出其面積．而要將平面區域作出來的關鍵又是能夠對不等式組中的兩個不等式進行化簡和變形，如何變形？需對絕對值加以討論．
解：不等式可化為或；
不等式可化為或．
在平面直角座標系內作出四條射線
，， 則不等式組所表示的平面區域如圖
由於與、與互相垂直，
所以平面區域是乙個矩形．
根據兩條平行線之間的距離公式可得矩形的兩條邊的長度分別為和．
所以其面積為．
典型例題四
例1 若、滿足條件求的最大值和最小值．
分析：畫出可行域，平移直線找最優解．
解：作出約束條件所表示的平面區域，即可行域，如圖所示．
作直線，即，它表示斜率為，縱截距為的平行直線系，當它在可行域內滑動時，由圖可知，直線過點時，取得最大值，當過點時，取得最小值．
說明：解決線性規劃問題，首先應明確可行域，再將線性目標函式作平移取得最值．
典型例題五
例5 用不等式表示以，，為頂點的三角形內部的平面區域．
分析：首先要將三點中的任意兩點所確定的直線方程寫出來，然後結合圖形考慮三角形內部區域應怎樣表示。
解：直線的斜率為：，其方程為．
可求得直線的方程為．直線的方程為．
的內部在不等式所表示平面區域內，同時在不等式所表示的平面區域內，同時又在不等式所表示的平面區域內（如圖）．
所以已知三角形內部的平面區域可由不等式組表示．
說明：用不等式組可以用來平面內的一定區域，注意三角形區域內部不包括邊界線．
典型例題六
例6 已知，．求的最大、最小值．
分析：令，目標函式是非線性的．而可看做區域內的點到原點距離的平方．問題轉化為點到直線的距離問題．
解：由得可行域(如圖所示)為，而到，的距離分別為和．
所以的最大、最小值分別是50和．
說明：題目中的目標函式是非線性的．解決的方法類似於線性規劃問題．可做出圖，利用圖進行直觀的分析．
典型例題七
例7 設式中的變數、滿足下列條件求的最大值．
分析：先作出不等式組所表示的可行域，需要注意的是這裡的，故只是可行域內的整數點，然後作出與直線平等的直線再進行觀察．
解：作出直線和直線，得可行域如圖所示．
解方程組得交點．
又作直線，平等移動過點時，取最大值，然而點不是整數點，故對應的值不是最優解，此時過點的直線為，應考慮可行域中距離直線最近的整點，即，有，應注意不是找距點最近的整點，如點為可行域中距最近的整點，但，它小於，故的最大值為34．
說明：解決這類題的關鍵是在可行域內找準整點．若將線性目標函式改為非線性目標函式呢？
典型例題八
例8 設，式中的變數、滿足試求的最大值、最小值．
分析：作出不等式組所表示的平面區域，本題的關鍵是目標函式應理解為可行域中的點與座標原點的距離的平方．
解：作出直線，，得到如圖所示的可行域．
由得由得
由得．由圖可知：當為點時，取最小值為2；當為點時，取最大值29．
說明：若將該題中的目標函式改為，如何來求的最大值、最小值呢？請自己探求．（將目標函式理解為點與點邊線的斜率）
典型例題九
例9 設，，；，，，用圖表示出點的範圍．
分析：題目中的，與，，是線性關係．可借助於，，的範圍確定的範圍．
解：由得由，，得做出不等式所示平面區域如圖所示．
說明：題目的條件隱蔽，應考慮到已有的，，的取值範圍．借助於三元一次方程組分別求出，，，從而求出，所滿足的不等式組找出的範圍．
典型例題十
例10 某糖果廠生產、兩種糖果，種糖果每箱獲利潤40元，種糖果每箱獲利潤50元，其生產過程分為混合、烹調、包裝三道工序，下表為每箱糖果生產過程中所需平均時間（單位：分鐘）
每種糖果的生產過程中，混合的裝置至多能用12機器小時，烹調的裝置至多只能用機器30機器小時，包裝的裝置只能用機器15機器小時，試用每種糖果各生產多少箱可獲得最大利潤．
分析：找約束條件，建立目標函式．
解：設生產種糖果箱，種糖果箱，可獲得利潤元，則此問題的數學模式在約束條件下，求目標函式的最大值，作出可行域，其邊界
由得，它表示斜率為，截距為的平行直線系，越大，越大，從而可知過點時截距最大，取得了最大值．
解方程組
∴ 即生產種糖果120箱，生產種糖果300箱，可得最大利潤19800元．
說明：由於生產種糖果120箱，生產種糖果300箱，就使得兩種糖果共計使用的混合時間為120＋2×300＝720（分），烹調時間5×120＋4×300＝1800（分），包裝時間3×120＋300＝660（分），這說明該計畫已完全利用了混合裝置與烹調裝置的可用時間，但對包裝裝置卻有240分鐘的包裝時間未加利用，這種「過剩」問題構成了該問題的「鬆馳」部分，有待於改進研究．
典型例題十一
例11 甲、乙、丙三種食物的維生素、含量及成本如下表：
某食物營養研究所想用千克甲種食物，千克乙種食物，千克丙種食物配成100千克的混合食物，並使混合食物至少含56000單位維生素和63000單位維生素．（1）用、表示混合物成本．（2）確定、、的值，使成本最低．
分析：找到線性約束條件及目標函式，用平行線移動法求最優解．
解：（1）依題意：、、滿足
∴ 成本（元）
（2）依題意
∵ ∴
作出不等式組所對應的可行域，如圖所示．
聯立作直線則易知該直線截距越小，越小，所以該直線過時，直線在軸截距最小，從而最小，此時7×50＋5×20＋400＝＝850元
∴ 千克，千克時成本最低．
典型例題十二
例12 某工廠有甲、乙兩種產品，按計畫每天各生產不少於15，已知生產甲產品1需煤9，電力4，勞力3個（按工作日計算）；生產乙產品1需煤4，電力5，勞力10個；甲產品每噸價7萬元，乙產品每噸價12萬元；但每天用煤最不得超過300噸，電力不得超過200，勞力只有300個．問每天各生產甲、乙兩種產品多少，才能既保定完成生產任務，又能為國家創造最多的財富．
分析：先設每天生產甲、乙兩種產品的產量分別為和，建立約束條件和目標函式後，再利用圖形直觀解題．
解：設每天生產甲產品，乙產品，總產值，依題意約束條件為：
目標函式為．
約束條件表示的可行域是五條直線所圍成區域的內部的點加上它的邊線上的點(如圖陰影部分)．
現在就要在可行域上找出使取最大值的點．作直線，隨著取值的變化，得到一束平行直線，其縱截距為，可以看出，當直線的縱截距越大，值也越大．
從圖中可以看出，當直線經過點時，直線的縱截距最大，所以也取最大值．
解方程組
得．故當，時，
(萬元)．
答：第天生產甲產品20，乙產品24，這樣既保證完成任務，又能為國家創造最多的財富428萬元．
說明：解決簡單線性規劃應用題的關鍵是：(1)找出線性約束條件和目標函式；(2)準確畫出可行域；(3)利用的幾何意義，求出最優解．如本例中，是目標函式的縱截距．
典型例題十三
例13 有一批鋼管，長度都是4000，要截成500和600兩種毛坯，且這兩種毛坯數量比大於配套，怎樣截最合理？
分析：先設出未知數，建立約束條件和目標函式後，再按求最優解是整數解的方法去求．
解：設截500的根，600的根，根據題意，得
且．作出可行域，如下圖中陰影部分．
目標函式為，作一組平行直線，經過可行域內的點且和原點距離最遠的直線為過的直線，這時．
由，為正整數，知不是最優解．
在可行域內找整點，使
可知點，，，，均為最優解．
答：每根鋼管截500的2根，600的5根，或截500的3根，600的4根或截500的4根，600的3根或截500的5根，600的2根或截500的6根，600的1根最合理．
說明：本題易出現如下錯解：設截500的根，600的根，則
即其中、均為整數．作出可行域，如下圖所示中陰影部分．目標函式為，作一組平行直線，經過可行域內的點且和原點相距最遠的直線為過點的直線．先求點的座標，
解得，故，即，調整為，．
經檢驗滿足條件，所以每根截500的2根，600的5根最合理．
本題解法錯誤主要是在作一組平行直線時沒能準確作出，而得到經過可行域內的點且和原點距離最遠的直線為過點的直線．
此錯誤可檢驗如下：
如果直線通過點，它是經過可行域內的點且到原點距離最遠的直線，那麼，即．由於，為整數，所以點不是最優解但在可行域內除點外，不可能再有其他點滿足，只能在可行域內找滿足的點．如果還沒有整數點，則只能在可行域內找滿足的整數點．但我們知道，滿足題意，這樣，就出現了矛盾，從而判斷解法錯誤，即通過點的直線並不是通過可行域內的點且和原點距離最遠的直線．
典型例題十四
例14 某工廠生產、兩種產品，已知生產產品1要用煤9，電力4，3個工作日；生產產品1要用煤4，電力5，10個工作日．又知生產出產品1可獲利7萬元，生產出產品1可獲利12萬元，現在工廠只有煤360，電力200，300個工作日，在這種情況下生產，產品各多少千克能獲得最大經濟效益．
分析：在題目條件比較複雜時，可將題目中的條件列表．
解：設這個工廠應分別生產，產品，，可獲利萬元．根據上表中的條件，列出線性約束條件為目標函式為(萬元)．
畫出如圖所示的可行域，做直線，做一組直線與平行，當過點時最大．由得點座標為．把點座標代入的方程，得(萬元)．
簡單線性規劃
第3課時 教學目標教學重點教學難點教學方法 簡單線性規劃 一 知識與技能會從實際情景中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，並能加以解決。過程與方法經歷從實際情景中抽象出不等式模型的過程，體會不等式 方程之間的關係。情感 態度體會線性規劃的基本思想，借助幾何直觀解決一些線性規劃問題。與價值觀 線性規劃問...
複習簡單線性規劃
典型例題一 例1 畫出不等式組表示的平面區域 分析 採用 法 確定不等式組每一不等式所表示的平面區域，然後求其公共部分 解 把，代入中得 不等式表示直線下方的區域 包括邊界 即位於原點的一側，同理可畫出其他兩部分，不等式組所表示的區域如圖所示 說明 法 是判別二元一次不等式所表示的區域行之有效的一種...
簡單線性規劃說課稿
學號 0990110429 姓名 朱彩樂 線性規劃是運籌學的乙個重要分支，在實際生活中有著廣泛的應用。這一節課我要說的內容是有關線性規劃的問題,下面我將從教材分析,目標分析,過程分析等方面進行闡述.一 說教材 1 教材的地位與作用 本節內容是在學習了不等式 直線方程的基礎上，利用不等式和直線方程的有...