1引言函式的冪級數展開在高等數學中有著重要的地位，在研究冪級數的展開之前我們務必先研究一下泰勒級數，因為泰勒級數在冪級數的展開中有著重要的地位。一般情況，我們用拉格朗日餘項和柯西餘項來討論冪級數的展開，幾乎不用積分型餘項來討論，今天我們的研究中就有著充分的體現。
2 泰勒級數
泰勒定理指出：若函式在點的某個鄰域內存在直至階的連續導數，則
1)這裡=稱為皮亞諾型餘項。如果增加條件「有階連續導數」，那麼還可以寫成三種形式
拉格朗日餘項）
柯西餘項）
積分型餘項）
如果在(1)中抹去餘項，那麼在附近可用(1)式中右邊的多項式來近似代替。
如果函式在處有任意階的導數，這時稱形式為：
(2)的級數為函式在的泰勒級數，對於級數(2)是否能夠在附近確切地表達，或說在泰勒級數在附近的和函式是否就是，這是我們現在要討論的問題。下面我們先看乙個例子：
例1 由於函式
在處的任何階導數都為0，即所以在處的泰勒級數為：
顯然，它在上收斂，且其和函式， 由此看到對一切都有，
這說明具有任意階導數的函式，其泰勒級數並不是都收斂於函式本身，只有
時才能夠。
在實際應用上主要討論在的展開式。這時（2）也可以寫成
，稱為麥克勞林級數。
3 函式的冪級數展開與技巧
3.1一般的泰勒展開法（直接展開法）
我們主要通過例題來表現冪級數的展開與技巧：首先用直接展開法討論初等函式的冪級數展開形式。通常有三種展開思路：
1、統一用柯西餘項來估計餘項；2、統一用積分餘項來估計餘項；3、柯西餘項（或積分餘項）結合拉格朗日餘項來估計餘項。本文採用第二種思路。
例2 求次多項式
的展開式。
解：由於
總有 ，因而
，即多項式函式的冪級數展開就是它本身。
例3 求函式的展開式。
解：因為
， ，有，；
從而， 。
例4 求函式的展開式。
解：由於，，有
所以在內能展開為麥克勞林級數：
；同樣可證（更簡單的方法是對上面的展開式逐項求導）：
。例5 求函式的展開式。
解：注意到，函式的各階導數是
， 從而 ，有
；注意到，當或時，不變符號且關於變數單調，因此總是在時取最大值，從而
，；所以的麥克勞林級數是
， (3)
用比式判斷法容易求得(3)的收斂半徑，且當時收斂，時發散，故級數域。
將(3)式中換成就得到函式在處的泰勒展開式：
，它的收斂域為。
例6 討論：二項式函式展開式。
解：當為正整數時，有二項式定理直接展開得到的展開式，這已經在前面例2中討論過了。
下面討論不等於正整數時的情形，這時：
，，，；
於是的麥克勞林級數是
， (4)
運用比式判別法可得(4)的收斂半徑。
設（由二項式定理易證的情形），有
，。由比式判別法知級數收斂，故通項趨於,因此
。所以，在上有
5)對於收斂區間端點的情形，它與的取值有關，其結果如下：
當時，收斂域為；當時，收斂域為；當時，收斂域為；在(5)式中，令就得到
6)當時，得到
。 (7)
例7 以與分別代入(6) (7)得到
8)9)
對於(8) (9)分別逐項可積，可得函式與的展開式，，。
這說明，熟悉某些初等函式的展開式，對於一些函式的冪級數展開是極為方便的，特別是上面介紹的基本初等函式的結果，對於用間接方法求冪級數展開式特別有用。
3.2 通過變形、轉換、利用已知的展開式
例8 將函式展開式的冪級數並指出收斂半徑。
分析：將變為的形式。
解：因為
，。例9 求的麥克勞林展開式（至含的項）。
解：由於，故
，因故收斂區間為。
例10 將展開成的冪級數（至含項）。
解：由的展開式得
。3.3 利用逐項積分方法
例11 將函式展開成的冪級數，並求其收斂區間。
分析：該題可化為的形式展開，但這樣的展開式中變成的冪次，而不是的冪次，我們知道：
，將展開再積分就方便了 。
解：因為，而
，，，對上式兩端積分可得：
，當時，上式為交錯級數，
，顯然有且，依萊布尼茨判別法知：當時，級數收斂，因此收斂區間為。
3.4 逐項微分法
例12 將展開成的冪級數。
分析：先展開，再逐項微分。
解：因為
，注意到，所以
，。例13 將展開成的冪級數。
解：因為
，，所以
。注：值得注意的是逐項積分法或逐項微分法，常常在區間內部進行，但並不是絕對的，這裡就不再證明了。
3.5 待定係數法
例14 求下列函式的冪級數展開。
（12）。
解：(1) 設，因為
，所以，故即，
比較係數得：
，，，，
由，得：
，，， ，
從而，。(2)設，則
，比較等式兩邊同次冪係數得：
，，，，
這裡利用了三角恒等式
， 所以
。 3.6 微分方程法
例15 求的冪級數展開形式。
注：在前面例14中用待定係數法已求出冪級數展開式，現在用微分方程法計算，從而得到。
解： 設，因此
，即1〉由〈1〉兩邊同時求階導數得：
2〉令得：
3〉這兒下標「0」表示在處的值，在〈1〉式中令得：
，在〈3〉式兩邊微商一次得，
，令，知，得：
，，代入公式〈3〉得：
，，，故
4〉這裡「」表示右邊的級數為左邊函式的泰勒級數，容易證明右邊的級數的收斂半徑，利用逐項微分法可以驗證級數的和函式是〈1〉給定的微分方程的解，且，而函式
在處連續，故〈4〉式中「」改為「」對也成立。
3.7 利用級數的運算
例16 利用函式的冪級數展開，求下列極限。
（12）。
解：（1）因為
，所以（2）由基本初等函式的冪級數展開式得，，
代入，即得
例17 計算積分。
解：因為
，，故級數在上一致收斂，故可逐項積分。當時有
，而當時有
由阿貝爾定理得，即
。4結論我們是在泰勒級數基礎上研究冪級數的展開式，利用以上幾種方法可以對「冪級數的展開式」這一塊內容有深刻的認識，且利用這些展開式解決問題，為我們在今後研究冪級數中提供了工具。
致謝 對在研究及撰寫**過程中給予幫助的組織或個人表示衷心感謝！
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