內容要點
一， 概念與性質
(一)概念由數列構成的式子
稱為無窮級數，簡稱為級數.稱為級數的一般項，稱為級數的部分和.
如果,則稱級數收斂，稱為該級數的和.此時記.否則稱級數發散.
（二）性質
1, 若收斂，則
2, 若,收斂，則
3, 級數增減或改變有限項，不改變其斂散性.
4, 若級數收斂，則任意加括號後所成的級數仍收斂.
5(收斂的必要條件), 若收斂，則
注意：若則必發散.而若發散,則不一定
(三) 兩個常用級數
1, 等比級數
2,級數
二，正項級數斂散性判別法
(一) 比較判別法
設均為正項級數，且,則
收斂收斂；
發散發散
(二) 極限判別法
如果,則發散；
如果對,則則收斂.
(三) 比值判別法
設為正項級數，若
二， 交錯級數收斂性判別法
萊布尼茲判別法：設為交錯級數，如果滿足：
1, 2,
則此交錯級數收斂.
三， 任意項級數與絕對收斂
（一） 絕對收斂如果收斂，則稱絕對收斂.
（二） 條件收斂如果收斂，但發散,則稱條件收斂.
（三） 定理若級數絕對收斂，則該級數必收斂.
例題：例1判斷級數(1)；(2)的斂散性.
解：(1) = 收斂
(2) 由於故發散.
例2 判別級數.(1)；(2)；(3)的斂散性.
解：(1) 由於(,而收斂
故由比較判別法可知級數收斂.
(2) 由於(,而發散，由比較判別法可知
級數發散.
(3) 由於,而發散，由比較判別法可知
級數發散.
例3 判別下列級數的斂散性：(1)；(2)解：用比值判別法
(1)故收斂；
(2)故發散.
例4 判別級數(1)；（2）的斂散性.
解：(1) 由於,
故由極限判別法可知級數發散.
(2) 由於
故由極限判別法可知級數收斂.
例5 問級數是收斂還是發散？若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？
解：由茉布尼茲判別法可知與均收斂，從而原級數收斂.
另一方面，，而發散，故由比較判別法可知
發散，從而原級數是條件收斂.
練習題1, 用比較判別法判別下列級數的斂散性.
(1) (2) (3) (4)2, 用比值判別法判別下列級數的斂散性.
(1) (2) (3)
3, 用極限判別法判別下列級數的斂散性.
(1) (2)
4 判斷下列級數是否收斂？如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂？
(12)
(3) (4)
[答案：1,(1)收斂 (2)收斂 (3)收斂 (4) 發散2,(1)收斂 (2)收斂 (3)收斂 3,(1) 發散(2)收斂
4,(1)條件收斂 (2)絕對收斂 (3)絕對收斂 (4)條件收斂 ]
冪級數內容要點
一， 冪級數的收斂域
1, 形如=的函式項級數稱為冪級數.
2, 冪級數的收斂區間是乙個以原點為中心的對稱區間，即3, 如果 ,則收斂半徑
4, 收斂區間再加上收斂的端點稱為收斂域.
二，冪級數的逐項求導與逐項積分的性質
1, 在收斂區間內
2, 在收斂區間內
三, 將函式展為冪級數
常用結果：
1, 2,
3,4,
5,例題例1 求冪級數
的收斂半徑與收斂域.
解：由於
=所以,收斂半徑收斂區間為
當時,原級數為收斂；
當時,原級數為發散. 故收斂域為
例2 求冪級數的和函式.
解：不難求得收斂域為設和函式為即,
逐項求導，,再積分，便得
,例3求冪級數的收斂域及和函式.
解： 當時， 原級數=發散，故收斂域為
====
例4 將函式展開成的冪級數.
解：由於故
=,練習題1, 求下列冪級數的收斂半徑與收斂域.
(1) (2) (3) (4)2, 求下列冪級數的收斂域及和函式.
(1) (2) (3)
3, 將下列函式展為的冪級數
(1) (2) (3) (4)
[答案：1,(1) (2) (3) (4)2,(1) (2) (3)
3, (1) (23)
(4) ]
傅利葉級數
內容要點：設為週期為的週期函式，在滿足狄氏條件下，則在的連續點處有其中
例題：將函式
展為傅利葉級數.
解：首先計算傅利葉係數由於為偶函式，所以
== 從而
=練習題1, 設求其傅利葉係數
2, 將函式
在連續點處展為傅利葉級數.
[答案：1, 2, ]
數項級數和函式項級數斂散性的判別唐婷
畢業 題目 數項級數和函式項級數斂散性的判別 學院 數學與電腦科學學院 專業 資訊與計算科學 年級 07級 姓名 唐婷 指導教師 廖莉 職稱 講師 2011 年 6 月 宜春學院教務處制 目錄畢業設計 任務書 畢業設計 開題報告 資格審查表 學士學位 原創性申明 版權使用授權書 畢業設計說明書或 正...
12 2正項級數
一 教學目的 掌握判別正項級數斂散性的各種方法，包括比較判別法，比式判別法，根式判別 法和積分判別法 二 教學內容 比較判別法 比式判別法 根式判別法 積分判別法 基本要求 1 掌握比較判別法，比式判別法，根式判別法和積分判別法 2 較高要求 介紹拉貝判別法 三 教學建議 1 要求學生必須理解和掌握...
正項級數的收斂判別法及其推廣
引言數項級數又稱無窮級數,簡稱級數.若數項級數的各項都由正數組成,則稱為正項級數.級數理論是數學中乙個非常重要的理論,正項級數又是級數中的基礎部分,具有很強的實用價值和廣泛的應用.作為一種常用的研究工具廣泛的應用於其他數學科學和科學技術領域,因此它的收斂判定問題一直被人們所研究.正項級數的收斂判別法...