專題十九
基礎知識
常數項級數的部分和數列，。
定義1 若，常數項級數收斂，且； 若不存在，常數項級數發散。（常數項級數是否收斂取決於的部分和數列是否存在極限）
常數項級數的基本性質：
性質1若級數、收斂，其和分別為、，、是常數，則級數亦收斂，且其和為，亦即
推論1若級數收斂，發散，則發散，其中是不為零的常數。
思考：若級數、發散，級數是否一定發散？
性質2（級數收斂的必要條件）級數收斂的必要條件是
推論2若不存在或，級數發散。（常用此推論證明級數發散）
常數項級數實際上是由數列逐項相加得到的。數列的極限是否存在與數列的前幾項沒有任何關係，只與數列的後面無窮多項有關。常數項級數的和是否存在同樣與數列的前幾項沒有任何關係，只與數列的後面無窮多項有關，只是如果級數收斂的話，數列的前幾項在級數的和中占有極大的比重。
（故如果級數收斂，應著重注意其首項是從幾開始的）
常數項級數可分為正項級數、交錯級數、任意項級數等，本專題介紹正項級數的斂散性判別法。
定理1正項級數（）收斂的充分必要條件是其部分和數列有上界。
定理2（比較判別法）設和都是正項級數，且
， （1）若級數收斂，則級數亦收斂；
（2）若級數發散，則級數亦發散。
（實際上只要求大於某一即可，不需要從1開始）
定理3（比較判別法的極限形式）設和都是正項級數，且
（1）若，則和同時收斂或同時發散；
（2）若且級數收斂，則級數收斂；
（3）若且級數發散，則級數發散。
定理4（達朗貝爾比值判別法）設是正項級數，且
（1）當時，級數收斂；
（2）當（或）時，級數發散；
（3）當時，級數可能收斂也可能發散。
定理5（根式判別法）設是正項級數（），若，則
（1）當時，收斂；
（2）當時，發散；
（3）當時，可能收斂也可能發散。
注：應用比較判別法的關鍵是收集一些已知其斂散性的正項級數，並選擇其中合適的乙個做為參照物。在此給出幾個重要的正項級數：
（1）幾何級數：當時收斂，且；當時發散。
（2）級數：當時收斂，當時發散。
（3）調和級數發散。
（4）級數收斂。
注：其中的級數非常非常重要，很多題目的解答均有涉及。
例題1. 判定級數的斂散性。
解： 故收斂且。
注：此方法最為一般，但也最為具有代表性，一定要掌握。
2. 在級數、、中，有哪些是收斂的？
解：對於，由於，發散，由比較判別法知發散。對於，由於，，收斂，由比較判別法知收斂。對於，由於
由級數收斂的必要條件知發散。
注：在判定正項級數的斂散性時，等價無窮小替換同樣適用。如此題中的
故級數與的斂散性相同。又如對於本題中的級數，其
與的斂散性相同。（時，）
3. 解：由於
（時，）
收斂，由比較判別法的極限形式知收斂。
4. 設為常數，討論級數的斂散性。
解：分三種情形說明：
（1）當時，
由級數收斂的必要條件知發散。
（2）當時，，由級數收斂的必要條件知發散。
（3）當時，由於
，收斂，由比較判別法知收斂。
綜上，當時收斂，時發散。
5. 已知數列收斂，亦收斂，證明：收斂。
證明：由於 故
設，，則
故收斂，且。
6. 設數列單調增、有界，且，試判別級數的斂散性。
解：由數列極限的單調有界定理知數列收斂，設。令，由，知，於是。又
由於故級數收斂，由比較判別法知收斂，亦即收斂。
7. 討論級數的斂散性（為引數）。
解：分兩種情形說明：
（1）當時，（），級數發散，由比較判別法知發散。
（2）當時，任取一，，由於
級數收斂（），由比較判別法的極限形式知收斂。
8. 求。
解：令，考察級數，，且
由比值判別法知收斂，故由級數收斂的必要條件知，亦即。
9. 設（），，試判別級數的斂散性。
解：令，由知數列嚴格單調遞增，亦即，且，故有
令，則，正項級數的部分和數列有上界，故收斂，由比較判別法知收斂，故收斂。
習題1. 設，，求的和。
2. 判定下列級數的斂散性。
(1(2)
(3(4
(5)(6(7)
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