1．正弦定理：＝＝＝2r，其中r是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：
(1)a∶b∶c＝sin a∶sin b∶sin c；
(2)a＝2rsin_a，b＝2rsin_b，c＝2rsin_c；
(3)sin a＝，sin b＝，sin c＝等形式，以解決不同的三角形問題．
2．餘弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_a，b2＝a2＋c2－2accos_b，c2＝a2＋b2－2abcos_c．餘弦定理可以變形為：cos a＝，cos b＝，cos c＝.
3．s△abc＝absin c＝bcsin a＝acsin b＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形外接圓半徑，r是三角形內切圓的半徑)，並可由此計算r，r.
4．已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況．如已知a，b，a，則
5.一條規律
在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△abc中，a＞ba＞bsin a＞sin b.
6.兩類問題
在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：
(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；
(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角．情況(2)中結果可能有一解、兩解、無解，應注意區分．
餘弦定理可解決兩類問題：
(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；
(2)已知三邊，求各角．
7.兩種途徑
根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：
(1)化邊為角；(2)化角為邊，並常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉換．
例題精編
例1．(人教a版教材習題改編)在△abc中，a＝60°，b＝75°，a＝10，則c等於( )．
a．5 b．10
c. d．5
解析由a＋b＋c＝180°，知c＝45°，
由正弦定理得：＝，
即＝.∴c＝.
答案 c
例2．在△abc中，若＝，則b的值為( )．
a．30° b．45° c．60° d．90°
解析由正弦定理知：
＝，∴sin b＝cos b，∴b＝45°.
答案 b
例3．(2011·鄭州聯考)在△abc中，a＝，b＝1，c＝2，則a等於( )．
a．30° b．45° c．60° d．75°
解析由餘弦定理得：cos a＝＝＝，
∵0＜a＜π，∴a＝60°.
答案 c
例4．在△abc中，a＝3，b＝2，cos c＝，則△abc的面積為( )．
a．3 b．2 c．4 d.
解析 ∵cos c＝，0＜c＜π，
∴sin c＝，
∴s△abc＝absin c
＝×3×2×＝4.
答案 c
例5．已知△abc三邊滿足a2＋b2＝c2－ab，則此三角形的最大內角為________．
解析 ∵a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos c＝＝－，
故c＝150°為三角形的最大內角．
答案 150°
例6在△abc中，a＝，b＝，b＝45°.求角a，c和邊c.
[審題視點] 已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意解的判斷．
解由正弦定理得＝，＝，
∴sin a＝.
∵a＞b，∴a＝60°或a＝120°.
當a＝60°時，c＝180°－45°－60°＝75°，
c＝＝；
當a＝120°時，c＝180°－45°－120°＝15°，
c＝＝.
例7. (2011·桂林模擬)已知a，b，c為△abc的三個內角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2＋cos a＝0.
(1)求角a的值；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△abc的面積．
解 (1)由2cos2＋cos a＝0，
得1＋cos a＋cos a＝0，
即cos a＝－，
∵0＜a＜π，∴a＝.
(2)由餘弦定理得，
a2＝b2＋c2－2bccos a，a＝，
則a2＝(b＋c)2－bc，
又a＝2，b＋c＝4，
有12＝42－bc，則bc＝4，
故s△abc＝bcsin a＝.
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