提能專訓(十) 空間圖形的位置關係
一、選擇題
1．(2013·河北承德月考)若點p是兩條異面直線l，m外的任意一點，則( )
a．過點p有且僅有一條直線與l，m都平行
b．過點p有且僅有一條直線與l，m都垂直
c．過點p有且僅有一條直線與l，m都相交
d．過點p有且僅有一條直線與l，m都異面
答案：b 命題立意：本題考查異面直線的幾何性質，難度較小．
解題思路：因為點p是兩條異面直線l，m外的任意一點，則過點p有且僅有一條直線與l，m都垂直，故選b.
2．(2013·廣東汕頭一模)如圖，p是正方形abcd外一點，且pa⊥平面abcd，則平面pab與平面pbc、平面pad的位置關係是( )
a．平面pab與平面pbc、平面pad都垂直
b．它們兩兩垂直
c．平面pab與平面pbc垂直，與平面pad不垂直
d．平面pab與平面pbc、平面pad都不垂直
答案：a 解題思路：∵ da⊥ab，da⊥pa，ab∩pa＝a，
∴ da⊥平面pab，又da平面pad，∴ 平面pad⊥平面pab.同理可證平面pab⊥平面pbc.把四稜錐p－abcd放在長方體中，並把平面pbc補全為平面pbcd1，把平面pad補全為平面padd1，易知∠cd1d即為兩個平面所成二面角的平面角，∠cd1d＝∠apb，
∴ ∠cd1d＜90°，故平面pad與平面pbc不垂直．
3．設α，β分別為兩個不同的平面，直線lα，則「l⊥β」是「α⊥β」成立的( )
a．充分不必要條件
b．必要不充分條件
c．充要條件
d．既不充分也不必要條件
答案：a 命題立意：本題主要考查空間線面、面面位置關係的判定與充分必要條件的判斷，意在考查考生的邏輯推理能力．
解題思路：依題意，由l⊥β，lα可以推出α⊥β；反過來，由α⊥β，lα不能推出l⊥β.因此「l⊥β」是「α⊥β」成立的充分不必要條件，故選a.
4．(2013·吉林普通中學摸底)若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列結論正確的是( )
a．若m，n都平行於平面α，則m，n一定不是相交直線
b．若m，n都垂直於平面α，則m，n一定是平行直線
c．已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，則n⊥β
d．m，n在平面α內的射影互相垂直，則m，n互相垂直
答案：b 解題思路：本題考查了空間中線面的平行及垂直關係．在a中：
因為平行於同一平面的兩直線可以平行，相交，異面，故a為假命題；在b中：因為垂直於同一平面的兩直線平行，故b為真命題；在c中：n可以平行於β，也可以在β內，也可以與β相交，故c為假命題；在d中：
m，n也可以不互相垂直，故d為假命題．故選b.
5．(2013·浙江餘姚中學質檢)如圖所示，已知正方體abcd－a1b1c1d1的稜長為2，長為2的線段mn的乙個端點m在稜dd1上運動，另一端點n在正方形abcd內運動，則mn的中點的軌跡的面積為( )
a．4π b．2π
c．π d.
答案：d 解題思路：本題考查了立體幾何中的點、線、面之間的關係．如圖可知，端點n在正方形abcd內運動，連線nd，由nd，dm，mn構成乙個直角三角形，設p為nm的中點，根據直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得，不論△mdn如何變化，點p到點d的距離始終等於1.
故點p的軌跡是乙個以d為中心，半徑為1的球的球面，其面積為.
技巧點撥：探求以空間圖形為背景的軌跡問題，要善於把立體幾何問題轉化到平面上，再聯合運用平面幾何、立體幾何、空間向量、解析幾何等知識去求解，實現立體幾何到解析幾何的過渡．
6．(2013·遼寧瀋陽二中期中考試)如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形abcd為正方形，e，f分別為pa，pd的中點，在此幾何體中，給出下面四個結論：
①直線be與直線cf是異面直線；②直線be與直線af是異面直線；③直線ef∥平面pbc；④平面bce⊥平面pad.
其中正確結論的序號是( )
a．①② b．②③
c．①④ d．②④
答案：b 解題思路：本題考查了立體幾何中的點、線、面之間的關係．畫出幾何體的圖形，如圖，由題意可知，①直線be與直線cf是異面直線，不正確，因為e，f分別是pa與pd的中點，可知ef∥ad，所以ef∥bc，直線be與直線cf是共面直線；②直線be與直線af是異面直線，滿足異面直線的定義，正確；③直線ef∥平面pbc，由e，f是pa與pd的中點，可知ef∥ad，所以ef∥bc，因為ef平面pbc，bc平面pbc，所以判斷是正確的；④由題中條件不能判定平面bce⊥平面pad，故④不正確．故選b.
技巧點撥：翻摺問題常見的是把三角形、四邊形等平面圖形翻摺起來，然後考查立體幾何的常見問題：垂直、角度、距離、應用等問題．此類問題考查學生從二維到三維的公升維能力，考查學生空間想象能力．解決該問題時，不僅要知道空間立體幾何的有關概念，還要注意到在翻摺的過程中哪些量是不變的，哪些量是變化的．
二、填空題
7．(2013·山西大學附中期中測試)如圖，四邊形abcd為菱形，四邊形cefb為正方形，平面abcd⊥平面cefb，ce＝1，∠aed＝30°，則異面直線bc與ae所成角的大小為________．
答案：45° 解題思路：因為bc∥ad，所以∠ead就是異面直線bc與ae所成的角．
因為平面abcd⊥平面cefb，且ec⊥cb，
所以ec⊥平面abcd.
在rt△ecd中，ec＝1，cd＝1，故ed＝＝.
在△aed中，∠aed＝30°，ad＝1，由正弦定理可得＝，即sin ∠ead＝＝＝.
又因為∠ead∈(0°，90°)，所以∠ead＝45°.
故異面直線bc與ae所成的角為45°.
8．(2013·廣東惠州調研)給出命題：
①異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線；
②兩異面直線a，b，如果a平行於平面α，那麼b不平行於平面α；
③兩異面直線a，b，如果a⊥平面α，那麼b不垂直於平面α；
④兩異面直線在同一平面內的射影不可能是兩條平行直線．
上述命題中，真命題的序號是________．
答案：①③ 解題思路：本題考查了空間幾何體中的點、線、面之間的關係．根據異面直線的定義知：
異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線，故命題①為真命題；兩條異面直線可以平行於同乙個平面，故命題②為假命題；若b⊥α，則a∥b，即a，b共面，這與a，b為異面直線矛盾，故命題③為真命題；④兩條異面直線在同乙個平面內的射影可以是：兩條平行直線、兩條相交直線、一點一直線，故命題④為假命題．
9．如果乙個稜錐的底面是正多邊形，並且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的稜錐叫做正稜錐．已知乙個正六稜錐的各個頂點都在半徑為3的球面上，則該正六稜錐的體積的最大值為________．
答案：16 命題立意：本題以球的內接組合體問題引出，綜合考查了稜錐體積公式、利用導數工具處理函式最值的方法，同時也有效地考查了考生的運算求解能力和數學建模能力．
解題思路：設球心到底面的距離為x，則底面邊長為，高為x＋3，正六稜錐的體積v＝×(9－x2)×6(x＋3)＝(－x3－3x2＋9x＋27)，其中0≤x＜3，則v′＝(－3x2－6x＋9)＝0，令x2＋2x－3＝0，解得x＝1或x＝－3(舍)，故vmax＝v(1)＝(－1－3＋9＋27)＝16.
10．(2013·山西高三診斷)已知三稜錐p－abc的各頂點均在乙個半徑為r的球面上，球心o在ab上，po⊥平面abc，＝，則三稜錐與球的體積之比為________．
答案： 命題立意：本題主要考查線面垂直、三稜錐與球的體積計算方法，意在考查考生的空間想象能力與基本運算能力．
解題思路：依題意，ab＝2r，又＝，∠acb＝90°，因此ac＝r，bc＝r，三稜錐p－abc的體積vp－abc＝po·s△abc＝×r××r×r＝r3.而球的體積v球＝r3，因此vp－abc∶v球＝r3∶r3＝.
三、解答題
11.(2013·資訊優化卷)如圖，四邊形abcd與a′abb′都是正方形，點e是a′a的中點，a′a⊥平面abcd.
(1)求證：a′c∥平面bde；
(2)求證：平面a′ac⊥平面bde.
解題**：第一問通過三角形的中位線證明出線線平行，從而證明出線面平行；第二問由a′a與平面abcd垂直得到線線垂直，再由線線垂直證明出bd與平面a′ac垂直，從而得到平面與平面垂直．
解析：(1)設ac交bd於m，連線me.
∵ 四邊形abcd是正方形，
∴ m為ac的中點．
又∵ e為a′a的中點，
∴ me為△a′ac的中位線，
∴ me∥a′c.
又∵ me平面bde，
a′c平面bde，
∴ a′c∥平面bde.
(2)∵ 四邊形abcd為正方形，∴ bd⊥ac.
∵ a′a⊥平面abcd，bd平面abcd，
∴ a′a⊥bd.
又ac∩a′a＝a，∴ bd⊥平面a′ac.
∵ bd平面bde，
∴ 平面a′ac⊥平面bde.
12.(2013·原創卷)如圖，在直四稜柱abcd－a1b1c1d1中，已知dc＝dd1＝2ad＝2ab，ad⊥dc，ab∥dc.
(1)求證：d1c⊥ac1；
(2)設e是dc上一點，試確定e的位置，使d1e∥平面a1bd，並說明理由．
命題立意：本題主要考查空間幾何體中的平行與垂直的判定，考查考生的空間想象能力和推理論證能力．通過已知條件中的線線垂直關係和線面垂直的判定證明線面垂直，從而證明線線的垂直關係．並通過線段的長度關係，借助題目中線段的中點和三角形的中位線尋找出線線平行，證明出線面的平行關係．解決本題的關鍵是學會作圖、轉化、構造．
解析：(1)在直四稜柱abcd－a1b1c1d1中，連線c1d，∵ dc＝dd1，
∴ 四邊形dcc1d1是正方形，
∴dc1⊥d1c.
又ad⊥dc，ad⊥dd1，dc∩dd1＝d，
∴ ad⊥平面dcc1d1，
又d1c平面dcc1d1，
∴ ad⊥d1c.
∵ ad平面adc1，dc1平面adc1，
且ad∩dc1＝d，
∴ d1c⊥平面adc1，
又ac1平面adc1，
∴ d1c⊥ac1.
(1)題圖
(2)題圖
(2)連線ad1，ae，d1e，設ad1∩a1d＝m，bd∩ae＝n，連線mn.
∵ 平面ad1e∩平面a1bd＝mn，
要使d1e∥平面a1bd，
可使mn∥d1e，又m是ad1的中點，
則n是ae的中點．
又易知△abn≌△edn，
∴ ab＝de.
即e是dc的中點．
綜上所述，當e是dc的中點時，可使d1e∥平面a1bd.
13.(2013·保定高三調研)已知直三稜柱abc－a′b′c′滿足∠bac＝90°，ab＝ac＝aa′＝2，點m，n分別為a′b和b′c′的中點．
(1)證明：mn∥平面a′acc′；
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