專題二數列
整理範榮鑫
在高考數列考察中，以求通項公式和求和最為常見。下面以這兩個知識點為主整理高考題型。
一、求通項公式（由遞推關係求通項公式）
遞推公式是給出數列的基本方式之一，在近幾年高考題中佔著不小的比重。如2023年高考數學19份理科試卷，共19道數列部分的解答題，其中有17道涉及遞推數列，不能不感受到高考數學試題中「遞推」之風的強勁。
1、遞推關係形如：的數列
利用迭加或迭代法得：，（）
例1（08天津文20）在數列中，，，且（）．
（ⅰ）設（），證明是等比數列；高考資源網
（ⅱ）求數列的通項公式；
（ⅰ）證明：由題設（），得
，即，．
又，，所以是首項為1，公比為的等比數列．
（ⅱ）解法：由（ⅰ），，
，（）．
所以當時， 上式對顯然成立．
2、遞推關係形如：的數列
利用迭乘或迭代法可得：，（）
例2 （2008天津理22）在數列與中，，數列的前項和滿足,為與的等比中項，.
（ⅰ）求的值；（ⅱ）求數列與的通項公式；
解：（ⅰ）易得，．
（ⅱ）由題設 ①
（）時 ②
①式減去②式，整理得， 即，所以
時，此式對也成立．
由題設有，所以，即，．
令，則，即．由得，．所以，即，．
3、遞推關係形如：（p,q為常數且，）的數列（線性遞推關係）
利用不動點求出的根，遞推關係可化為，利用等比數列求出的表示式，進而求出
例題3（2007全國1卷22）（本小題滿分12分）
已知數列中，，．
（ⅰ）求的通項公式；
解：（ⅰ）由題設：，．
所以，數列是首項為，公比為的等比數列，
，即的通項公式為，．
例4（2008安徽文21）設數列滿足其中為實數，且
（ⅰ）求數列的通項公式
解 ：當時，是首項為，公比為的等比數列。
，即。當時，仍滿足上式。
數列的通項公式為 。
4、遞推關係形如：（,為常數且，）的數列
令與比較解出係數x，y構造等比數列
例5（08湖北理21）已知數列和滿足
,其中為實數，為正整數，求數列、的通項公式（稍加改編）
解： ① 令整理後與①式比較對應項係數得
, ,
5、遞推關係形如：的數列（為常數且）
常化為，利用第三種型別求出後解出；
例6 ．（2008四川理20） 設數列的前項和為，已知
（ⅰ）證明：當時，是等比數列；
（ⅱ）求的通項公式
解：由題意知，且
兩式相減得
即 ①
（ⅰ）略
（ⅱ）當時，由（ⅰ）知，即
當時，由①得
因此得6、遞推關係形如：（為常數且）的數列
可化為=求出的表示式，再求
例7．（2023年山東理19）將數列中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：
……記表中的第一列數構成的數列為，．為數列的前項和，且滿足．
（ⅰ）證明數列成等差數列，並求數列的通項公式；
解：（ⅰ）證明：由已知，當時，，又，
所以，又．所以數列是首項為1，公差為的等差數列．
由上可知，．
所以當時，．因此
7、遞推關係形如：或的數列
可採用取倒數方法轉化成為形式利用前面的第三類方法解決。
例8 （2023年高考陝西理22）已知數列的首項，，．
（ⅰ）求的通項公式；
解：（ⅰ），，，
又，是以為首項，為公比的等比數列．
，．8、sn法求與前n項和sn有關的數列通項時，通常用公式作為橋梁，將sn轉化為的關係式求或將轉化為sn的關係式先求sn進而求得。
例9、（2023年全國ⅱ20）設數列的前項和為．已知，，．
（ⅰ）設，求數列的通項公式；
解：（ⅰ）依題意，，即，
由此得．因此，所求通項公式為，．
9、遞推關係形如型（p,q為常數）待定係數法設構造等比數列
例10．數列中，且，求.
10、構造數列
例題11（2007山東理17題）
設數列滿足
(i)求數列的通項; 【】
(ii)設求數列的前項和.【】
在求通項公式問題中，以上列舉了多種型別，教學中根據學生實際主抓基本型別。
二、數列求和
數列中蘊含著豐富的數學思想方法，是高中數學中重要的內容之一，是高考的熱點、重點和難點。而數列求和問題在高考中每年必考，選擇、填空題中多以考查公式法求和為主，數列求和解答題，多以數列為工具，綜合運用函式、方程、不等式等知識，考察考生靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力，難度為中、高檔. 求數列的和時要注意方法的選取：
關鍵是看數列的通項的結構特徵，注意分析判斷是否是等差數列或是等比數列，是否可轉化成等差數列、等比數列。其常見解法有：公式求和法、拆項轉化法、分組轉化法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。
只要能夠理解每個方法的適用範圍，那麼數列的求和問題就不會太難。現將這些方法總結如下。
1、公式求和法
先判斷是否是等差、等比、特殊數列的求和，若是，則代公式，這就是公式法。公式是指等差、等比數列的前n項和公式
例1.（2010·全國卷）記等差數列的前項和為，設，且成等比數列，求.
【解析】設數列的公差為，依題設有
即解得，或
因此，或.
2、拆項轉化法
將乙個數列拆成若干個簡單數列（如等差、等比數列、或者特殊數列等）的和差，然後分別求和. 這是分解與組合思想、轉化與化歸的數學思想方法在數列求和中的具體應用. 拆項轉化法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，再分別「合併同類項」，使同類性質的數歸於一組，轉化為常見數列的求和。
如數列為等差數列，數列為等比數列，則數列前n項和均可利用拆項轉化法來求。
例題2.（2010·全國卷ⅱ）已知是各項均為正數的
等比數列，且，
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）設，求數列的前項和。
【解析】 （ⅰ）設公比為q,則由已知有
及化簡得又所以
（ⅱ）由（ⅰ）知= =
例題3（2010·重慶高考）已知是首項為19，公差為-2的等差數列，為的前n項和.
（1）求通項公式及；
（2）設是首項為1，公比為3的等比數列，求數列的通項公式及其前n項和
【解析】（1）因為是首項為19，公差為-2的等差數列，
所以，即；
，即.（2）因為是首項為1，公比為3的等比數列，所以，即，
所以.3、分組轉化法
把數列中同類的項分到一組（如將數列的相鄰的兩項（或若干項）並成一項（或一組）、或把數列的項「集」在一塊重新組合，或把整個數列按奇、偶項分成兩部分等等），得到乙個新的且更容易求和的數列.從而最終達到求和的目的.這一求和方法稱為分組轉化法.
其特徵是通過區域性重組，轉化為常見數列的求和。通項中含因式（如數列為等差數列，數列），週期數列等等前n項和則可利用分組轉化法來求。
例題4（2010·天津高考）在數列中，=0，且對任意k，成等差數列，其公差為2k.
（ⅰ）證明成等比數列；
（ⅱ）求數列的通項公式；
（ⅲ）記，證明
【解析】（i）由題設可知，，，，
，。從而，所以，，成等比數列．
（ii）由題設可得
所以由，得 ，從而.
所以數列的通項公式為
或寫為，．
（iii）由（ii）可知，，
以下分兩種情況進行討論：
（1） 當n為偶數時，設n=2m
若，則，
若，則.所以，從而
（２）當n為奇數時，設．
所以，從而
綜合（1）和（2）可知，對任意有
4、裂項相消法
形如數列前n項和均可利用裂項相消法來求
（1）（2）
（3）(其中d為等差數列的公差)
（4）（5）
例題5、（2011全國新課標卷17）（本小題滿分12分）
等比數列的各項均為正數，且求數列的通項公式.
設求數列的前項和
解：（ⅰ）設數列的公比為q，由得所以。有條件可知a>0,故。
由得，所以。故數列的通項式為an=。
（ⅱ）故
所以數列的前n項和為
例題6（2010·山東高考）已知等差數列滿足：，，的前n項和為．
（1）求及；
（2）令 (nn*)，求數列的前n項和．
【解析】 （1）設等差數列的公差為d，因為，，所以有
，解得，
所以；==.
（2）由（1）知，所以
bn===，
所以==，
即數列的前n項和=.
（2）………
；由得，
故滿足的最小正整數n為112.
裂項相消中要注意裂項後相消時不是相鄰項抵消的情形。如下題：
求和（仔細看看上一行裡邊「抵消」的規律 ）
這個題，要多寫一些項，多觀察，才可能看出抵消的規律來。
5、錯位相減法
將乙個數列的每一項都作相同的變換，然後將得到的新數列錯動乙個位置與原數列的各項相減，推導等比數列前n項和公式的方法即是錯位相減法.如果乙個數列的各項是由乙個等差數列與乙個等比數列對應項乘積組成，此時求和可採用錯位相減法. 如數列為等差數列，數列為等比數列，則數列前n項和可利用錯位相減法來求。
例題7（2010·安徽高考）設是座標平面上的一列圓，
它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對
每乙個正整數,圓都與圓相互外切，以表示的半徑，
已知為遞增數列.
(1)證明：為等比數列；
(2)設，求數列的前項和.
【解析】(1)將直線的傾斜角記為，則有
設的圓心為，則由題意得知又，
（ⅱ）由於從而．
例題8（2010·四川高考）已知數列滿足，且對任意都有
（ⅰ）求，；
（ⅱ）設證明：數列是等差數列；
（ⅲ）設，求數列的前項和.
【解析】()由題意，令，可得，
令.（ⅱ）當,由已知，令，
由已知可得， 即，
也即， ∴.
∴數列是公差為的等差數列.
（ⅲ）由()、（ⅱ）可知數列是首項為，公差為的
等差數列.
則， 即.
另令可得，
即. ，
∴.當時，，
當，，式兩邊同乘可得
， 得 ，
∴綜上，
6、倒序相加法
如果在乙個數列中，與首末兩項等距離的兩項之和等於首末兩項之和，可採用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到乙個常數列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法.推導等差數列前n項和公式的方法即是倒序相加法.
【典例】（2011·東北師大附中上學期高三第三次摸底考試）
函式對任意都有
（1）求的值；
（2）數列滿足：
，求；（3）令，試比較與的大小．
【解析】（1）令，
則有（2）令，得即
因為，所以
兩式相加得：
， （3），
時，；時，
=4=4
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