專題22 空間位置關係與證明
★★★高考在考什麼
【考題回放】
1．（浙江）若是兩條異面直線外的任意一點，則（b ）
a．過點有且僅有一條直線與都平行
b．過點有且僅有一條直線與都垂直
c．過點有且僅有一條直線與都相交
d．過點有且僅有一條直線與都異面
2．（湖南）如圖，過平行六面體abcd-a1b1c1d1任意兩條稜的中
點作直線,其中與平面dbb1d1平行的直線共有( d )
a.4條 b.6條 c.8條 d.12條
3．（湖北）平面外有兩條直線和，如果和在平面內的射影分別是和，給出下列四個命題：
②；③與相交與相交或重合；
④與平行與平行或重合．
其中不正確的命題個數是（ ｄ ）
ａ．1234
4.（湖北）關於直線、與平面、，有下列四個命題：（d ）
①且，則； ②且，則；
③且，則； ④且，則.
其中真命題的序號是：
abcd. ②、③
5．在正方形中，過對角線的乙個平面交於e，交於f，則( )
1 四邊形一定是平行四邊形
2 四邊形有可能是正方形
3 四邊形在底面abcd內的投影一定是正方形
4 四邊形有可能垂直於平面
以上結論正確的為寫出所有正確結論的編號）
6．（上海）在平面上，兩條直線的位置關係有相交、平行、重合三種． 已知是兩個相交平面，空間兩條直線在上的射影是直線，在上的射影是直線．用與，與的位置關係，寫出乙個總能確定與是異
面直線的充分條件： ，並且與相交（，並且與相交）
★ ★★高考要考什麼
一． 線與線的位置關係:平行、相交、異面；
線與面的位置關係:平行、相交、線在麵內；
面與面的位置關係:平行、相交；
二．轉化思想：
；★★★高考將考什麼
【範例1】（天津）如圖，在四稜錐中，底面，，，是的中點．
（ⅰ）證明；
（ⅱ）證明平面；
（ⅲ）求二面角的大小．
（ⅰ）證明：在四稜錐中，
因底面，平面，故．
，平面．
而平面，．
（ⅱ）證明：由，，可得．
是的中點，．
由（ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面內的射影是，，．
又，綜上得平面．
（ⅲ）解法一：過點作，垂足為，鏈結．則（ⅱ）知，平面，在平面內的射影是，則．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．設，
可得．在中，，，
則．在中，．
解法二：由題設底面，平面，則平面平面，交線為．
過點作，垂足為，故平面．過點作，垂足為，鏈結，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，設，
可得．，．
於是，．
在中，．
所以二面角的大小是．
所以二面角的大小是．
變式：如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，稜．
（1）證明//平面；
（2）設，證明平面．
證明：（ⅰ）取cd中點m，鏈結om.
在矩形abcd中，，又，則，
鏈結em，於是四邊形efom為平行四邊形.
又平面cde， em平面cde， ∴ fo∥平面cde
（ⅱ）證明：鏈結fm，由（ⅰ）和已知條件，在等邊△cde中，
且.因此平行四邊形efom為菱形，從而eo⊥fm而fm∩cd=m，
∴cd⊥平面eom，從而cd⊥eo. 而，所以eo⊥平面cdf.
【點晴】本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎知識，注意線面平行和線面垂直判定定理的使用，考查空間想象能力和推理論證能力。
【範例2】（安徽）如圖，在六面體中，四邊形是邊長為
2的正方形，四邊形是邊長為1的正方形，平面
，平面，．
（ⅰ）求證：與共面，與共面．
（ⅱ）求證：平面平面；
（ⅲ）求二面角的大小（用反三角函式值表示）．
證明：以為原點，以所在直線分別為軸，
軸，軸建立空間直角座標系如圖，
則有．（ⅰ）證明：．．
與平行，與平行，
於是與共面，與共面．
（ⅱ）證明：，，，．
與是平面內的兩條相交直線．
平面．又平面過．
平面平面．
（ⅲ）解：．
設為平面的法向量，
，．於是，取，則，．
設為平面的法向量，
，．於是，取，則，．
．二面角的大小為．
解法2（綜合法）：
（ⅰ）證明：平面，平面．
，，平面平面．
於是，．
設分別為的中點，鏈結，有．，
於是．由，得，
故，與共面．
過點作平面於點，
則，鏈結，
於是，，．
，．，．
所以點在上，故與共面．
（ⅱ）證明：平面，，
又（正方形的對角線互相垂直），
與是平面內的兩條相交直線，
平面．又平面過，平面平面．
（ⅲ）解：直線是直線在平面上的射影，，
根據三垂線定理，有．
過點在平面內作於，鏈結，
則平面，
於是，所以，是二面角的乙個平面角．
根據勾股定理，有．
，有，，，．
，，二面角的大小為．
變式（江蘇）如圖，已知是稜長為的正方體，
點在上，點在上，且．
（1）求證：四點共面；（4分）
（2）若點在上，，點在上，
，垂足為，求證：平面；（4分）
（3）用表示截面和側面所成的銳二面角的大小，求．
證明：（1）建立如圖所示的座標系，則，，，
所以，故，，共面．
又它們有公共點，所以四點共面．
（2）如圖，設，則，
而，由題設得，
得．因為，，有，又，，所以，，從而，．
故平面．
（3）設向量截面，於是，．
而，，得，，解得，，所以．
又平面，所以和的夾角等於或（為銳角）．
於是．故．
【範例3】如圖，在長方體ac1中，ad=aa1=1，ab=2，點e在稜ab上移動.
（1）證明：d1e⊥a1d；
（2）當e為ab的中點時，求點e到面acd1的距離；
（3）ae等於何值時，二面角d1—ec—d的大小為.
解析：法1
（1）∵ae⊥面aa1dd1，a1d⊥ad1，∴a1d⊥d1e
（2）設點e到面acd1的距離為h，在△acd1中，ac=cd1=，ad1=，
故（3）過d作dh⊥ce於h，連d1h、de，則d1h⊥ce，
∴∠dhd1為二面角d1—ec—d的平面角.
設ae=x，則be=2－x
法2：以d為座標原點，直線da、dc、dd1分別為x、y、z軸，建立空間直角座標系，設ae=x，則a1(1，0，1)，d1(0，0，1)，e(1，x，0)，a(1，0，0), c(0，2，0).
（1）（2）因為e為ab的中點，則e（1，1，0），
從而，，
設平面acd1的法向量為，
則也即，得，
從而，所以點e到平面ad1c的距離為
（3）設平面d1ec的法向量，
∴由令b=1, ∴c=2, a=2－x，
∴依題意
∴（不合，捨去），.
∴ae=時，二面角d1—ec—d的大小為.
變式：如圖，四稜錐p—abcd中，底面abcd 為矩形，ab=8，ad=4，側面pad為等邊三角形，並且與底面所成二面角為60°.
（ⅰ）求四稜錐p—abcd的體積；
（ⅱ）證明pa⊥bd.
解析：（ⅰ）如圖，取ad的中點e，
鏈結pe，則pe⊥ad.
作po⊥平面在abcd，垂足為o，鏈結oe.
根據三垂線定理的逆定理得oe⊥ad，
所以∠peo為側面pad與底面所成的二面角
的平面角，由已知條件可知∠peo=60°，pe=6，所以po=3，
四稜錐p—abcd的體積vp—abcd=
（ⅱ）法1 如圖，以o為原點建立空間直角座標系.通過計算可得p(0，0，3)，
a(2，－3，0)，b(2，5，0)，d(－2，－3，0)
所以因為所以pa⊥bd.
法2：鏈結ao，延長ao交bd於點f.通過計算
可得eo=3，ae=2，又知ad=4，ab=8，
得所以rt△aeo∽rt△bad.得∠eao=∠abd.
所以∠eao+∠adf=90° 所以 af⊥bd.
因為直線af為直線pa在平面abcd 內的身影，所以pa⊥bd.
【點晴】本小題主要考查稜錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、分析問題能力，解題的關鍵是二面角的使用。使用空間向量能降低對空間想象能力的要求，但座標系的位置不規則，注意點座標的表示。
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