2023年高考數學（理）試題分類彙編
選修4系列
15．[2014·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖13所示，在平行四邊形abcd中，點e在ab上且eb＝2ae，ac與de交於點f，則
圖1315．9
15．[2014·湖北卷] (選修41：幾何證明選講)
如圖13，p為⊙o外一點，過p點作⊙o的兩條切線，切點分別為a，b，過pa的中點q作割線交⊙o於c，d兩點，若qc＝1，cd＝3，則pb
圖1315．4
12．[2014·湖南卷] 如圖13所示，已知ab，bc是⊙o的兩條弦，ao⊥bc，ab＝，bc＝2，則⊙o的半徑等於________．
圖1312.
22．[2014·遼寧卷] 選修41：幾何證明選講
如圖17所示，ep交圓於e，c兩點，pd切圓於d，g為ce上—點且pg＝pd，連線dg並延長交圓於點a，作弦ab垂直ep，垂足為f.
(1)求證：ab為圓的直徑；
(2)若ac＝bd，求證：ab＝ed.
圖1722．證明：(1)因為pd＝pg，所以∠pdg＝∠pgd.
由於pd為切線，故∠pda＝∠dba，
又因為∠pgd＝∠ega，所以∠dba＝∠ega，
所以∠dba＋∠bad＝∠ega＋∠bad，
從而∠bda＝∠pfa.
又af⊥ep，所以∠pfa＝90°，所以∠bda＝90°，故ab為圓的直徑．
(2)連線bc，dc.
由於ab是直徑，故∠bda＝∠acb＝90°.
在rt△bda與rt△acb中，ab＝ba，ac＝bd，從而得rt△bda≌rt△acb，
於是∠dab＝∠cba.
又因為∠dcb＝∠dab，所以∠dcb＝∠cba，故dc∥ab.
因為ab⊥ep，所以dc⊥ep，∠dce為直角，
所以ed為直徑，又由(1)知ab為圓的直徑，所以ed＝ab.
22．[2014·新課標全國卷ⅰ] 選修41：幾何證明選講
如圖16，四邊形abcd是⊙o的內接四邊形，ab的延長線與dc的延長線交於點e，且cb＝ce.
圖16(1)證明：∠d＝∠e；
(2)設ad不是⊙o的直徑，ad的中點為m，且mb＝mc，證明：△ade為等邊三角形．
22．證明：(1)由題設知a，b，c，d四點共圓，所以∠d＝∠cbe.由已知得∠cbe＝∠e，故∠d＝∠e.
(2)設bc的中點為n，連線mn，則由mb＝mc知mn⊥bc，故o在直線mn上．
又ad不是⊙o的直徑，m為ad的中點，故om⊥ad，即mn⊥ad，
所以ad∥bc，故∠a＝∠cbe.
又∠cbe＝∠e，故∠a＝∠e，由(1)知，∠d＝∠e，所以△ade為等邊三角形．
22．[2014·新課標全國卷ⅱ] 選修41：幾何證明選講
如圖14，p是⊙o外一點，pa是切線，a為切點，割線pbc與⊙o相交於點b，c，pc＝2pa，d為pc的中點，ad的延長線交⊙o於點e，證明：
(1)be＝ec；
(2)ad·de＝2pb2.
圖1422．證明：(1)連線ab，ac.由題設知pa＝pd，
故∠pad＝∠pda.
因為∠pda＝∠dac＋∠dca，
∠pad＝∠bad＋∠pab，
∠dca＝∠pab，
所以∠dac＝∠bad，從而be＝ec.
因此be＝ec.
(2)由切割線定理得pa2＝pb·pc.
因為pa＝pd＝dc，所以dc＝2pb，bd＝pb.
由相交弦定理得ad·de＝bd·dc，
所以ad·de＝2pb2.
15．[2014·陝西卷]
圖13b．(幾何證明選做題)如圖13，△abc中，bc＝6，以bc為直徑的半圓分別交ab，ac於點e，f，若ac＝2ae，則ef
15． b．3
6．[2014·天津卷]
圖12如圖12所示，△abc是圓的內接三角形，∠bac的平分線交圓於點d，交bc於點e，過點b的圓的切線與ad的延長線交於點f.在上述條件下，給出下列四個結論：
①bd平分∠cbf；
②fb2＝fd·fa；
③ae·ce＝be·de；
④af·bd＝ab·bf.
則所有正確結論的序號是( )
a．①② b．③④
c．①②③ d．①②④
6．d14．[2014·重慶卷] 過圓外一點p作圓的切線pa(a為切點)，再作割線pbc依次交圓於b，c.若pa＝6，ac＝8，bc＝9，則ab
14．4
21．[2014·福建卷] (ⅰ)選修42：矩陣與變換
已知矩陣a的逆矩陣．
(1)求矩陣a；
(2)求矩陣a－1的特徵值以及屬於每個特徵值的乙個特徵向量．
21. (ⅰ)解：(1)因為矩陣a是矩陣a－1的逆矩陣，且＝2×2－1×1＝3≠0，
所以a＝＝ .
(2)矩陣a－1的特徵多項式為f(λ)＝＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f(λ)＝0，得矩陣a－1的特徵值為λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝)是矩陣a－1的屬於特徵值λ1＝1的乙個特徵向量，ξ2＝)是矩陣a－1的屬於特徵值λ2＝3的乙個特徵向量．
13．[2014·天津卷] 在以o為極點的極座標系中，圓ρ＝4sin θ和直線ρsin θ＝a相交於a，b兩點．若△aob是等邊三角形，則a的值為________．
13．3
4．[2014·安徽卷] 以平面直角座標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極座標系，兩種座標系中取相同的長度單位．已知直線l的引數方程是(t為引數)，圓c的極座標方程是ρ＝4cos θ，則直線l被圓c截得的弦長為( )
a. b．2
c. d．2
4．d3．[2014·北京卷] 曲線(θ為引數)的對稱中心( )
a．在直線y＝2x上 b．在直線y＝－2x上
c．在直線y＝x－1上 d．在直線y＝x＋1上
3．b21． [2014·福建卷] (ⅱ)選修44：座標系與引數方程
已知直線l的引數方程為(t為引數)，圓c的引數方程為(θ為引數)．
(1)求直線l和圓c的普通方程；
(2)若直線l與圓c有公共點，求實數a的取值範圍．
21. (ⅱ)解：(1)直線l的普通方程為2x－y－2a＝0，
圓c的普通方程為x2＋y2＝16.
(2)因為直線l與圓c有公共點，
故圓c的圓心到直線l的距離d＝≤4，
解得－2≤a≤2.
14．[2014·廣東卷] (座標系與引數方程選做題)在極座標系中，曲線c1和c2的方程分別為ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以極點為平面直角座標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角座標系，則曲線c1和c2交點的直角座標為________．
14．(1，1)
16．[2014·湖北卷] (選修44：座標系與引數方程)
已知曲線c1的引數方程是(t為引數)．以座標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極座標系，曲線c2的極座標方程是ρ＝2，則c1與c2交點的直角座標為________．
16.11．[2014·湖南卷] 在平面直角座標系中，傾斜角為的直線l與曲線c： (α為引數)交於a，b兩點，且|ab|＝2.以座標原點o為極點，x軸正半軸為極軸建立極座標系，則直線l的極座標方程是________．
11．ρcos θ－ρsin θ＝1
11．[2014·江西卷] (2)(座標系與引數方程選做題)若以直角座標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極座標系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極座標方程為( )
a．ρ＝，0≤θ≤
b．ρ＝，0≤θ≤
c．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
d．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
11．(2)a
23．[2014·遼寧卷] 選修44：座標系與引數方程
將圓x2＋y2＝1上每一點的橫座標保持不變，縱座標變為原來的2倍，得曲線c.
2023年高考數學 理 試題分類彙編 專題11概率
概率k1 隨事件的概率 20 2014 湖北卷 計畫在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量x 年入流量 一年內上游來水與庫區降水之和，單位 億立方公尺 都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低於80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，...
2023年高考數學理試題分類彙編 導數及其應用
2016年高考數學理試題分類彙編 導數及其應用 一 選擇題 1 2016年四川高考 設直線l1，l2分別是函式f x 圖象上點p1，p2處的切線，l1與l2垂直相交於點p，且l1，l2分別與y軸相交於點a，b，則 pab的面積的取值範圍是 a 0,1 b 0,2 c 0,d 1,答案 a 2 201...
2023年高考試題 模擬新題分類彙編 數學理 G立體幾何
g 立體幾何 g1 空間幾何體的結構 9 g1 2012 重慶卷 設四面體的六條稜的長分別為1,1,1,1，和a，且長為a的稜與長為的稜異面，則a的取值範圍是 a 0，b 0，c 1，d 1，9 a 解析 如圖所示，設ab a，cd bc bd ac ad 1，則 acd bcd 45 要構造乙個四...