2023年高考數學理試題分類彙編
導數及其應用
一、選擇題
1、（2023年四川高考）設直線l1，l2分別是函式f(x)=圖象上點p1，p2處的切線，l1與l2垂直相交於點p，且l1，l2分別與y軸相交於點a，b，則△pab的面積的取值範圍是
（a）(0,1) （b）(0,2) （c）(0,+∞) （d）(1,+∞)
【答案】a
2、（2023年全國i高考）函式y=2x2–e|x|在[–2,2]的影象大致為
【答案】d
二、填空題
1、（2023年全國ii高考）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 ．
【答案】
2、（2023年全國iii高考）已知為偶函式，當時，，則曲線在點處的切線方程
是【答案】
三、解答題
1、（2023年北京高考） 設函式，曲線在點處的切線方程為，
（1）求，的值；
（2）求的單調區間.
【解析】 （）
∴∵曲線在點處的切線方程為
∴， 即
由解得：，
（）由（）可知：，
令，∴∴的最小值是
∴的最小值為
即對恆成立
∴在上單調遞增，無減區間.
2、（2023年山東高考）已知.
（i）討論的單調性；
（ii）當時，證明對於任意的成立.
【解析】(ⅰ) 求導數
當時，，，單調遞增，
，，單調遞減；
當時，（1） 當時，，
或，，單調遞增，
，，單調遞減；
(2) 當時，，，，單調遞增，
(3) 當時，，
或，，單調遞增，
，，單調遞減；
(ⅱ) 當時，，
於是，， 令 ，，，
於是，，的最小值為；
又設，，因為，，
所以必有，使得，且
時，，單調遞增；
時，，單調遞減；
又，，所以的最小值為．
所以．即對於任意的成立．
3、（2023年四川高考）設函式f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈r.
（i）討論f(x)的單調性；
（ii）確定a的所有可能取值，使得f(x) ＞-e1-x+在區間（1，+∞）內恆成立(e=2.718…為自然對數的底數)。
【解析】（i）由題意，
①當時，，，在上單調遞減.
②當時，，當時，；
當時，.
故在上單調遞減，在上單調遞增.
（ii）原不等式等價於在上恆成立.
一方面，令，
只需在上恆大於0即可.
又∵，故在處必大於等於0.
令，，可得.
另一方面，
當時，∵故，又，故在時恆大於0.
∴當時，在單調遞增.
∴，故也在單調遞增.
∴，即在上恆大於0.
綜上，.
4、（2023年天津高考）設函式,，其中
(i)求的單調區間；
(ii) 若存在極值點，且，其中，求證：；
（ⅲ）設，函式，求證：在區間上的最大值不小於.
【解析】（1）
① ，單調遞增；
②，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增
（2）由得
∴（3）欲證在區間上的最大值不小於，只需證在區間上存在，
使得即可
①當時，在上單調遞減
遞減，成立
當時，∵
∴若時，，成立
當時，，
所以，在區間上的最大值不小於成立
5、（2023年全國i高考）已知函式有兩個零點.
（i）求a的取值範圍；
（ii）設x1，x2是的兩個零點，證明：+x2<2.
解： 由已知得：
① 若，那麼，只有唯一的零點，不合題意；
② 若，那麼，
所以當時，，單調遞增
當時，，單調遞減
即：故在上至多乙個零點，在上至多乙個零點
由於，，則，
根據零點存在性定理，在上有且僅有乙個零點．
而當時，，，
故則的兩根，，，因為，故當或時，
因此，當且時，
又，根據零點存在性定理，在有且只有乙個零點．
此時，在上有且只有兩個零點，滿足題意．
③ 若，則，
當時，，，
即，單調遞增；
當時，，，即，單調遞減；
當時，，，即，單調遞增．
即：而極大值
故當時，在處取到最大值，那麼恆成立，即無解
而當時，單調遞增，至多乙個零點
此時在上至多乙個零點，不合題意．
④ 若，那麼
當時，，，即，
單調遞增
當時，，，即，
單調遞增
又在處有意義，故在上單調遞增，此時至多乙個零點，不合題意．
⑤ 若，則
當時，，，即，
單調遞增
當時，，，即，
單調遞減
當時，，，即，
單調遞增
即：故當時，在處取到最大值，那麼恆成立，即無解
當時，單調遞增，至多乙個零點
此時在上至多乙個零點，不合題意．
綜上所述，當且僅當時符合題意，即的取值範圍為．
由已知得：，不難發現，，
故可整理得：
設，則那麼，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．
設，構造代數式：
設， 則，故單調遞增，有．
因此，對於任意的，．
由可知、不可能在的同乙個單調區間上，不妨設，則必有
令，則有
而，，在上單調遞增，因此：
整理得：．
6、（2023年全國ii高考）
(ⅰ)討論函式的單調性，並證明當時，；
(ⅱ)證明：當時，函式有最小值.設的最小值為，求函式的值域．
【解析】⑴證明：
∵當時，
∴在上單調遞增
∴時，∴⑵由(1)知，當時，的值域為，只有一解．
使得，當時，單調減；當時，單調增
記，在時，，∴單調遞增
∴．7、（2023年全國iii高考）設函式，其中，記的最大值為．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求；
（ⅲ）證明．
解析：（ⅰ）．
（ⅱ）當時，
因此4分
當時，將變形為．
令，則是在上的最大值，，，且當時，取得極小值，極小值為．
令，解得（捨去），．
8、（2023年浙江高考）已知，函式f（x）=min，
其中min=
（i）求使得等式f（x）=x22ax+4a2成立的x的取值範圍；
（ii）（i）求f（x）的最小值m（a）；
（ii）求f（x）在區間[0,6]上的最大值m（a）.
（ii）（i）設函式，，則
，，所以，由的定義知，即
．（ii）當時，
，當時，
．所以，
．9、(2016江蘇)已知函式.
（1） 設a=2,b=.
1 求方程=2的根;
②若對任意,不等式恆成立，求實數m的最大值；
（2）若，函式有且只有1個零點，求ab的值.
解：（1）因為，所以.
①方程，即，亦即，
所以，於是，解得.
②由條件知.
因為對於恆成立，且，
所以對於恆成立.
而，且，
所以，故實數的最大值為4.
（2）因為函式只有1個零點，而，
所以0是函式的唯一零點.
因為，又由知，
所以有唯一解.
令，則，
從而對任意，，所以是上的單調增函式，
於是當，；當時，.
因而函式在上是單調減函式，在上是單調增函式.
下證.若，則，於是，
又，且函式在以和為端點的閉區間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點，記為. 因為，所以，又，所以與「0是函式的唯一零點」矛盾.
若，同理可得，在和之間存在的非0的零點，矛盾.
因此，.
於是，故，所以.
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