（2010上海文數）22.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。
若實數、、滿足，則稱比接近.
（1）若比3接近0，求的取值範圍；
（2）對任意兩個不相等的正數、，證明：比接近；
（3）已知函式的定義域.任取，等於和中接近0的那個值.寫出函式的解析式，並指出它的奇偶性、最小正週期、最小值和單調性（結論不要求證明）.
解析：(1) x(2,2)；
(2) 對任意兩個不相等的正數a、b，有，，
因為，所以，即a2bab2比a3b3接近；
(3) ,kz，
f(x)是偶函式，f(x)是週期函式，最小正週期t，函式f(x)的最小值為0，
函式f(x)在區間單調遞增，在區間單調遞減，kz．
（2010湖南文數）21．（本小題滿分13分）
已知函式其中a<0,且a≠-1.
（ⅰ）討論函式的單調性；
（ⅱ）設函式（e是自然數的底數）。是否存在a，使在[a,-a]上為減函式？若存在，求a的取值範圍；若不存在，請說明理由。
（2010浙江理數） (22)(本題滿分14分)已知是給定的實常數，設函式，，
是的乙個極大值點．
(ⅰ)求的取值範圍；
(ⅱ)設是的3個極值點，問是否存在實數，可找到，使得的某種排列(其中=)依次成等差數列?若存在，求所有的及相應的；若不存在，說明理由．
解析：本題主要考查函式極值的概念、導數運算法則、導數應用及等差數列等基礎知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創新意識。[**:學科網zxxk]
（ⅰ）解：f』(x)=ex(x-a)
令於是，假設
（1） 當x1=a 或x2=a時，則x=a不是f(x)的極值點，此時不合題意。
（2） 當x1a且x2a時，由於x=a是f(x)的極大值點，故x1即
即所以b＜-a
所以b的取值範圍是（-∞，-a）此時或
（2）當時，則或
於是此時
綜上所述，存在b滿足題意，
當b=-a-3時，
時，時，
（2010全國卷2理數）（22）（本小題滿分12分）
設函式．
（ⅰ）證明：當時，；
（ⅱ）設當時，，求a的取值範圍．
【命題意圖】本題主要考查導數的應用和利用導數證明不等式，考查考生綜合運用知識的能力及分類討論的思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力.
【參***】
【點評】導數常作為高考的壓軸題，對考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎知識、基本技能，還要求考生具有較強的分析能力和計算能力.估計以後對導數的考查力度不會減弱。作為壓軸題，主要是涉及利用導數求最值解決恆成立問題，利用導數證明不等式等，常伴隨對引數的討論，這也是難點之所在.
（2010陝西文數）21、(本小題滿分14分)
已知函式f（x）=，g（x）=alnx，ar。
（1） 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；
（2） 設函式h(x)=f(x)- g(x),當h(x)存在最小之時，求其最小值（a）的解析式；
（3） 對（2）中的（a），證明：當a（0，+）時， （a）1.
解 （1）f』(x)=,g』(x)=(x>0),[**:學科網]
由已知得 =alnx，
=， 解德a=,x=e2,
兩條曲線交點的座標為（e2,e） 切線的斜率為k=f』(e2)= ,
切線的方程為y-e=(x- e2).
（2）由條件知
ⅰ 當a.>0時，令h (x)=0,解得x=,
所以當0 < x< 時 h (x)<0，h(x)在（0，）上遞減；
當x>時，h (x)>0，h(x)在（0，）上遞增。
所以x>是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一極致點，且是極小值點，從而也是h(x)的最小值點。
所以φ（a）=h()= 2a-aln=2
ⅱ當a≤0時，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）遞增，無最小值。
故 h(x) 的最小值φ（a）的解析式為2a(1-ln2a) (a>o)
（3）由（2）知φ（a）=2a(1-ln2a)
則 φ1（a ）=-2ln2a，令φ1（a ）=0 解得 a =1/2
當 00，所以φ（a ） 在(0,1/2) 上遞增
當 a>1/2 時， φ1（a ）<0，所以φ（a ） 在 (1/2, +∞)上遞減。
所以φ（a ）在(0, +∞)處取得極大值φ（1/2 ）=1
因為φ（a ）在(0, +∞)上有且只有乙個極致點，所以φ（1/2）=1也是φ（a）的最大值
所當a屬於 (0, +∞)時，總有φ（a）≤1
（2010遼寧文數）（21）（本小題滿分12分）
已知函式.
（ⅰ）討論函式的單調性； k^s*
（ⅱ）設，證明：對任意，.
解：(ⅰ) f(x)的定義域為(0,+)，.
當a≥0時，＞0，故f(x)在(0,+)單調增加；
當a≤－1時，＜0, 故f(x)在(0,+)單調減少；
當－1＜a＜0時，令＝0,解得x=.當x∈(0, )時, ＞0；
x∈(，+)時，＜0, 故f(x)在（0, ）單調增加，在（，+）單調減少.
(ⅱ)不妨假設x1≥x2.由於a≤－2,故f(x)在（0，+）單調減少.
所以等價於
≥4x1－4x2,[**:學科網zxxk]
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,則
+4於是≤＝≤0.
從而g(x)在（0，+）單調減少，故g(x1) ≤g(x2)，
即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故對任意x1,x2∈(0,+) ，.
（2010遼寧理數）（21）（本小題滿分12分）
已知函式
（i）討論函式的單調性；
（ii）設.如果對任意，，求的取值範圍。
解：（ⅰ）的定義域為（0，+∞）. .
當時，＞0，故在（0，+∞）單調增加；
當時，＜0，故在（0，+∞）單調減少；
當-1＜＜0時，令=0，解得.
則當時，＞0；時，＜0.
故在單調增加，在單調減少.
（ⅱ）不妨假設，而＜-1，由（ⅰ）知在（0，+∞）單調減少，從而
，等價於令，則
①等價於在（0，+∞）單調減少，即
從而故a的取值範圍為（-∞，-212分
（2010全國卷2文數）（21）（本小題滿分12分）
已知函式f（x）=x-3ax+3x+1。
（ⅰ）設a=2，求f（x）的單調期間；
（ⅱ）設f（x）在區間（2,3）中至少有乙個極值點，求a的取值範圍。
【解析】本題考查了導數在函式性質中的應用，主要考查了用導數研究函式的單調區間、極值及函式與方程的知識。
（1）求出函式的導數，由導數大於0，可求得增區間，由導數小於0，可求得減區間。
（2）求出函式的導數，在（2，3）內有極值，即為在（2，3）內有乙個零點，即可根據，即可求出a的取值範圍。
（2010江西理數）19. （本小題滿分高☆考♂資♀源*網12分）
設函式。
（1）當a=1時，求的單調區間。
（2）若在上的最大值為，求a的值。
【解析】考查函式導數運算、利用導數處理函式最值等知識。
解：對函式求導得：，定義域為（0，2）
（1） 單調性的處理，通過導數的零點進行穿線判別符號完成。
當a=1時，令
當為增區間；當為減函式。
（2） 區間上的最值問題，通過導數得到單調性，結合極值點和端點的比較得到，確定
待定量a的值。
當有最大值，則必不為減函式，且》0，為單調遞增區間。
最大值在右端點取到。。
（2010安徽文數）20.（本小題滿分12分）
設函式，，求函式的單調區間與極值。
【命題意圖】本題考查導數的運算，利用導數研究函式的單調性與極值的方法，考查綜合應用數學知識解決問題的能力.[**:學_科_網]
【解題指導】（1）對函式求導，對導函式用輔助角公式變形，利用導數等於0得極值點，通過列表的方法考查極值點的兩側導數的正負，判斷區間的單調性，求極值.
【思維總結】對於函式解答題，一般情況下都是利用導數來研究單調性或極值，利用導數為0得可能的極值點，通過列表得每個區間導數的正負判斷函式的單調性，進而得出極值點.
（2010重慶文數）(19) (本小題滿分12分), (ⅰ)小問5分，(ⅱ)小問7分.)
已知函式(其中常數a,b∈r),是奇函式.
(ⅰ)求的表示式;
(ⅱ)討論的單調性，並求在區間[1,2]上的最大值和最小值.
（2010浙江文數）（21）（本題滿分15分）已知函式（a-b）（i）當a=1，b=2時，求曲線在點（2，）處的切線方程。
（ii）設是的兩個極值點，是的乙個零點，且，
證明：存在實數，使得按某種順序排列後的等差數列，並求
（2010重慶理數）（18）（本小題滿分13分，（i）小問5分，（ii）小問8分）
已知函式其中實數。
（i） 若a=-2，求曲線在點處的切線方程；
（ii） 若在x=1處取得極值，試討論的單調性。
（2010山東文數）（21）（本小題滿分12分）
已知函式[**:學,科,網]
（i）當時，求曲線在點處的切線方程；
（ii）當時，討論的單調性.
（2010北京文數）（20）（本小題共13分）
已知集合對於，，定義a與b的差為
a與b之間的距離為
（ⅰ）當n=5時，設，求，；
（ⅱ）證明：，且;
(ⅲ) 證明：三個數中至少有乙個是偶數
（ⅰ）解：=（1,0,1,0,1）
3(ⅱ)證明：設
因為，所以
從而由題意知
當時，當時，
所以[**:學科網]
(ⅲ)證明：設
記由（ⅱ）可知
所以中1的個數為k,中1的個數為
設是使成立的的個數。則
由此可知，三個數不可能都是奇數
即三個數中至少有乙個是偶數。
（2010北京理數）(18)(本小題共13分)
已知函式()=in(1+)-+(≥0)。
(ⅰ)當=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程；
(ⅱ)求()的單調區間。
解：（i）當時，，
由於，，
所以曲線在點處的切線方程為
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