概率k1 隨事件的概率
20． [2014·湖北卷] 計畫在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量x(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方公尺)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低於80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，並假設各年的年入流量相互獨立．
(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率．
(2)水電站希望安裝的發電機盡可能執行，但每年發電機最多可執行台數受年入流量x限制，並有如下關係：
若某台發電機執行，則該台年利潤為5000萬元；若某台發電機未執行，則該台年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？
20．解：(1)依題意，p1＝p(40p2＝p(80≤x≤120)＝＝0.7，
p3＝p(x>120)＝＝0.1.
由二項分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為
p＝c (1－p3)4＋c (1－p3)3p3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.
(2)記水電站年總利潤為y(單位：萬元)．
①安裝1臺發電機的情形．
由於水庫年入流量總大於40，故一台發電機執行的概率為1，對應的年利潤y＝5000，e(y)＝5000×1＝5000.
②安裝2臺發電機的情形．
依題意，當40所以，e(y)＝4200×0.2＋10 000×0.8＝8840.
③安裝3臺發電機的情形．
依題意，當40120時，三颱發電機執行，此時y＝5000×3＝15 000，因此p(y＝15 000)＝p(x>120)＝p3＝0.1.由此得y的分布列如下：
所以，e(y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15 000×0.1＝8620.
綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺．
17．[2014·四川卷] 一款擊鼓小遊戲的規則如下：每盤遊戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要麼出現一次**，要麼不出現**；每盤遊戲擊鼓三次後，出現一次**獲得10分，出現兩次**獲得20分，出現三次**獲得100分，沒有出現**則扣除200分(即獲得－200分)．設每次擊鼓出現**的概率為，且各次擊鼓出現**相互獨立．
(1)設每盤遊戲獲得的分數為x，求x的分布列．
(2)玩三盤遊戲，至少有一盤出現**的概率是多少？
(3)玩過這款遊戲的許多人都發現，若干盤遊戲後，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了．請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因．
17．解：(1)x可能的取值為10，20，100，－200.
根據題意，有
p(x＝10)＝c××＝，
p(x＝20)＝c××＝，
p(x＝100)＝c××＝，
p(x＝－200)＝c××＝.
所以x的分布列為：
(2)設「第i盤遊戲沒有出現**」為事件ai(i＝1，2，3)，則
p(a1)＝p(a2)＝p(a3)＝p(x＝－200)＝.
所以「三盤遊戲中至少有一盤出現**」的概率為1－p(a1a2a3)＝1－＝1－＝.
因此，玩三盤遊戲至少有一盤出現**的概率是.
(3)由(1)知，x的數學期望為ex＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
這表明，獲得分數x的均值為負．
因此，多次遊戲之後分數減少的可能性更大．
k2 古典概型
11．[2014·廣東卷] 從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七個不同的數，則這七個數的中位數是6的概率為________．
11.18．[2014·福建卷] 為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規定：每位顧客從乙個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額．
(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其餘3個均為10元，求：
(i)顧客所獲的獎勵額為60元的概率；
(ii)顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望．
(2)商場對獎勵總額的預算是60 000元，並規定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出乙個合適的設計，並說明理由．
18．解：(1)設顧客所獲的獎勵額為x.
(i)依題意，得p(x＝60)＝＝.
即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為，
(ii)依題意，得x的所有可能取值為20，60.
p(x＝60)＝，
p(x＝20)＝＝，
即x的分布列為
所以顧客所獲的獎勵額的期望為e(x)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．
(2)根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元．所以，先尋找期望為60元的可能方案．對於面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案1.
對於面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案2.
以下是對兩個方案的分析：
對於方案1，即方案(10，10，50，50)，設顧客所獲的獎勵額為x1，則x1的分布列為
x1的期望為e(x1)＝20×＋60×＋100×＝60，
x1的方差為d(x1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.
對於方案2，即方案(20，20，40，40)，設顧客所獲的獎勵額為x2，則x2的分布列為
x2的期望為e(x2)＝40×＋60×＋80×＝60，
x2的方差為d(x2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.
由於兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應該選擇方案2.
5．[2014·新課標全國卷ⅰ] 4位同學各自在週六週日兩天中任選一天參加公益活動，則週六週日都有同學參加公益活動的概率為( )
a. b.
c. d.
5．d6．[2014·陝西卷] 從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小於該正方形邊長的概率為 ( )
a. b. c. d.
6．c16．[2014·天津卷] 某大學志願者協會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其餘7名同學來自物理化學等其他互不相同的七個學院．現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)．
(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；
(2)設x為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變數x的分布列和數學期望．
16．解：(1)設「選出的3名同學是來自互不相同的學院」為事件a，則
p(a)＝＝，
所以選出的3名同學是來自互不相同學院的概率為.
(2)隨機變數x的所有可能值為0，1，2，3.
p(x＝k)＝(k＝0，1，2，3)，
所以隨機變數x的分布列是
隨機變數x的數學期望e(x)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
9．[2014·浙江卷] 已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機抽取i(i＝1，2)個球放入甲盒中．
(a)放入i個球後，甲盒中含有紅球的個數記為ξi(i＝1，2)；
(b)放入i個球後，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i＝1，2)．
則( )
a．p1>p2，e(ξ1)b．p1e(ξ2)
c．p1>p2，e(ξ1)>e(ξ2)
d．p19．a
18．，[2014·重慶卷] 一盒中裝有9張各寫有乙個數字的卡片，其中4張卡片上的數字是1，3張卡片上的數字是2，2張卡片上的數字是3.從盒中任取3張卡片．
(1)求所取3張卡片上的數字完全相同的概率；
(2)x表示所取3張卡片上的數字的中位數，求x的分布列與數學期望．
(注：若三個數a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個數的中位數)
18．解：(1)由古典概型中的概率計算公式知所求概率為p＝＝.
(2)x的所有可能值為1，2，3，且
p(x＝1)＝＝，
p(x＝2)＝＝，
p(x＝3)＝＝，
故x的分布列為
從而e(x)＝1×＋2×＋3×＝.
k3 幾何概型
14．[2014·福建卷] 如圖14，在邊長為e(e為自然對數的底數)的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為________．
圖1414.
7．[2014·湖北卷] 由不等式組確定的平面區域記為ω1，不等式組確定的平面區域記為ω2，在ω1中隨機取一點，則該點恰好在ω2內的概率為( )
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