2023年高考數學總複習精品資料
空間向量
1．理解空間向量的概念；掌握空間向量的加法、減法和數乘．
2．了解空間向量的基本定理；理解空間向量座標的概念；掌握空間向量的座標運算．
3．掌握空間向量的數量積的定義及其性質；掌握用直角座標計算空間向量數量積的公式；掌握空間兩點間的距離公式．
理解空間向量的夾角的概念；掌握空間向量的數量積的概念、性質和運算律；了解空間向量的數量積的幾何意義；掌握空間向量的數量積的座標形式；能用向量的數量積判斷向量的共線與垂直.
第1課時空間向量及其運算
空間向量是平面向量的推廣．在空間，任意兩個向量都可以通過平移轉化為平面向量．因此，空間向量的加減、數乘向量運算也是平面向量對應運算的推廣．
本節知識點是：
1．空間向量的概念，空間向量的加法、減法、數乘運算和數量積；
(1) 向量：具有和的量．
(2) 向量相等：方向且長度
(3) 向量加法法則
(4) 向量減法法則
(5) 數乘向量法則
2．線性運算律
(1) 加法交換律：a＋b
(2) 加法結合律：(a＋b)＋c
(3) 數乘分配律：(a＋b
3．共線向量
(1)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相或
(2) 共線向量定理：對空間任意兩個向量a、b(b0)，a∥b等價於存在實數，使
(3) 直線的向量引數方程：設直線l過定點a且平行於非零向量a，則對於空間中任意一點o，點p在l上等價於存在，使
4．共面向量
(1) 共面向量：平行於的向量．
(2) 共面向量定理：兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實數對()，使p
共面向量定理的推論
5．空間向量基本定理
(1) 空間向量的基底的三個向量．
(2) 空間向量基本定理：如果a，b，c三個向量不共面，那麼對空間中任意乙個向量p，存在乙個唯一的有序實陣列，使
空間向量基本定理的推論：設o，a，b，c是不共面的的四點，則對空間中任意一點p，都存在唯一的有序實陣列，使
6．空間向量的數量積
(1) 空間向量的夾角
(2) 空間向量的長度或模
(3) 空間向量的數量積：已知空間中任意兩個向量a、b，則a·b
空間向量的數量積的常用結論：
(a) cos〈a、b
(b) a2
(c) ab
(4) 空間向量的數量積的運算律：
(a) 交換律a·b
(b) 分配律a·(b＋c
例1．已知正方體abcd—a1b1c1d1中，點f是側面cdd1c1的中心，若，求x－y的值.
解：易求得
變式訓練1. 在平行六面體中，m為ac與bd的交點，若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是
a．a＋b＋c b．a＋b＋c
c．ab＋c d．ab＋c
解：a例2. 底面為正三角形的斜稜柱abc－a1b1c1中，d為ac的中點，
求證：ab1∥平面c1bd.
證明：記則∴,∴共面.
∵b1平面c1bd, ab1//平面c1bd.
變式訓練2：正方體abcd－efgh中，m、n分別是對角線ac和be上的點，且am＝en．
(1) 求證：mn∥平面fc
(2) 求證：mn⊥ab；
(3) 當ma為何值時，mn取最小值，最小值是多少？
解：(1) 設
(2)(3) 設正方體的邊長為a,
也即，例3. 已知四面體abcd中，ab⊥cd，ac⊥bd， g、h分別是△abc和△acd的重心．
求證：(1) ad⊥bc； (2) gh∥bd．
2023年高考數學精華總複習
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