第七章推理與證明第2課時直接證明與間接證明(對應學生用書(文)、(理)95～96頁)
1. 已知向量m＝(1，1)與向量n＝(x，2－2x)垂直，則x
答案：2
解析：m·n＝x＋(2－2x)＝2－x.
∵ m⊥n，∴ m·n＝0，即x＝2.
2. 用反證法證明命題「如果a>b，那麼》」時，假設的內容應為
答案：＝或<
解析：根據反證法的步驟，假設是對原命題結論的否定，即＝或<.
3. (選修12p44練習題3改編)－2與－的大小關係是
答案：－2>－
解析：由分析法可得，要證－2>－，只需證＋>＋2，即證13＋2>13＋4，即》2.因為42>40，所以－2>－成立．
4. 定義集合運算：a·b＝，設集合a＝，b＝，則集合a·b的所有元素之和為________．
答案：0
解析：依題意知α≠kπ＋，k∈z.
①α＝kπ＋(k∈z)時，b＝，
a·b＝；
②α＝2kπ或α＝2kπ＋(k∈z)時，b＝，a·b＝；
③α＝2kπ＋π或α＝2kπ－(k∈z)時，b＝，a·b＝；
④α≠且α≠kπ＋(k∈z)時，b＝，a·b＝．
綜上可知a·b中的所有元素之和為0.
5. (選修12p44練習題4改編)設a、b為兩個正數，且a＋b＝1，則使得＋≥μ恆成立的μ的取值範圍是________．
答案：(－∞，4]
解析：∵ a＋b＝1，且a、b為兩個正數，∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.要使得＋≥μ恆成立，只要μ≤4.
1. 直接證明
(1) 定義：直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法．
(2) 一般形式
a b c … 本題結論．
(3) 綜合法
① 定義：從已知條件出發，以已知的定義、公理、定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止．這種證明方法稱為綜合法．
② 推證過程
… …(4) 分析法
① 定義：從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止．這種證明方法稱為分析法．
② 推證過程
… …2. 間接證明
(1) 常用的間接證明方法有反證法、正難則反等．
(2) 反證法的基本步驟
① 反設——假設命題的結論不成立，即假定原結論的反面為真．
② 歸謬——從反設和已知出發，經過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果．
③ 存真——由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立．
[備課札記]
題型1 直接證明(綜合法和分析法)
例1 數列的前n項和記為sn，已知a1＝1，an＋1＝sn(n＝1，2，3，…)，證明：
(1) 數列是等比數列；
(2) sn＋1＝4an.
證明：(1) ∵ an＋1＝sn＋1－sn，an＋1＝sn(n＝1，2，3，…)，∴ (n＋2)sn＝n(sn＋1－sn)，
整理得nsn＋1＝2(n＋1)sn，∴＝2·，
即＝2，∴ 數列是等比數列．
(2) 由(1)知：＝4·(n≥2)，於是sn＋1＝4·(n＋1)·＝4an(n≥2)．又a2＝3s1＝3，∴ s2＝a1＋a2＝1＋3＝4a1，
∴ 對一切n∈n*，都有sn＋1＝4an.
例2 設a、b、c均為大於1的正數，且ab＝10，求證：logac＋logbc≥4lgc.
證明：(分析法)由於a>1，b>1，c>1，故要證明logac＋logbc≥4lgc，只要證明＋≥4lgc，即≥4，因為ab＝10，故lga＋lgb＝1.只要證明≥4，由於a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0設首項為a1的正項數列的前n項和為sn，q為非零常數，已知對任意正整數n、m，sn＋m＝**＋qmsn總成立．求證：
數列是等比數列．
證明：因為對任意正整數n、m，sn＋m＝**＋qmsn總成立，令n＝m＝1，得s2＝s1＋qs1，則a2＝qa1.令m＝1，得sn＋1＝s1＋qsn ①， 從而sn＋2＝s1＋qsn＋1 ②，②－①得an＋2＝qan＋1(n≥1)，綜上得an＋1＝qan(n≥1)，所以數列是等比數列．
題型2 間接證明(反證法)
例3 證明：，，不能為同一等差數列中的三項．
證明：假設，，為同一等差數列的三項，則存在整數m、n滿足
①×n－②×m得n－m＝(n－m)，兩邊平方得3n2＋5m2－2mn＝2(n－m)2，左邊為無理數，右邊為有理數，且有理數≠無理數，故假設不正確，即，，不能為同一等差數列的三項．
已知下列三個方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，其中至少有乙個方程有實根，求實數a的取值範圍．
解：若方程沒有乙個實數根，則
解之得－故三個方程至少有乙個方程有實數根的a的取值範圍是.
1. 用反證法證明命題「a·b(a、b∈z )是偶數，那麼a、b中至少有乙個是偶數．」那麼反設的內容是
答案：假設a、b都是奇數(a、b都不是偶數)
解析：用反證法證明命題時反設的內容是否定結論．
2. 已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＜c，b＜c，＋＝1，若以a、b、c為三邊構造三角形，則c的取值範圍是________．
答案：(10，16)
解析：要以a、b、c為三邊構造三角形，需要滿足任意兩邊之和大於第三邊，任意兩邊之差小於第三邊，而ac恆成立．而a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥16，∴ c<16.又》， >，∴ <＋＝1，∴ c>10，∴ 103.
設函式f0(x)＝1－x2，f1(x)＝，fn(x)＝，(n≥1，n≥n)，則方程f1(x)＝有________個實數根，方程fn(x)＝有________個實數根．
答案：4 2n＋1
解析：f1(x)＝＝＝，∴ x2＝或x2＝有4個解．
∵ 可推出n＝1，2，3…，根個數分別為22，23，24，
∴ 通過模擬得出fn(x)＝有2n＋1個實數根．
4. 若實數x、y、m滿足|x－m|＞|y－m|，則稱x比y遠離m.
(1) 若x2－1比1遠離0，求x的取值範圍；
(2) 對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a3＋b3比a2b＋ab2遠離2ab.
(1) 解：x
(2) 證明：對任意兩個不相等的正數a、b，有
a3＋b3>2ab，a2b＋ab2>2ab.
因為|a3＋b3－2ab|－|a2b＋ab2－2ab|＝(a＋b)(a－b)2>0，所以|a3＋b3－2ab|>|a2b＋ab2－2ab|，即a3＋b3比a2b＋ab2遠離2ab.
1. 已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證： 證明：
要證0，只需證(a－b)(2a＋b)>0，只需證(a－b)(a－c)>0.∵ a>b>c，∴ a－b>0，a－c>0，∴ (a－b)(a－c)>0顯然成立．故原不等式成立．
2. 已知等差數列的首項a1＞0，公差d＞0，前n項和為sn，且m＋n＝2p(m、n、p∈n*)，求證：sn＋**≥2sp.
證明：∵m2＋n2≥2mn，∴2(m2＋n2)≥(m＋n)2.
又m＋n＝2p，∴m2＋n2≥2p2.
3. 如圖，abcd為直角梯形，∠bcd＝∠cda＝90°，ad＝2bc＝2cd，p為平面abcd外一點，且pb⊥bd.
(1) 求證：pa⊥bd；
(2) 若pc與cd不垂直，求證：pa≠pd.
證明：(1) 因為abcd為直角梯形，ad＝ab＝bd，
所以ad2＝ab2＋bd2，因此ab⊥bd.
又pb⊥bd，ab∩pb＝b，ab，pb平面pab，
所以bd⊥平面pab，
又pa平面pab，所以pa⊥bd.
(2) 假設pa＝pd，取ad中點n，鏈結pn、bn，
則pn⊥ad，bn⊥ad，且pn∩bn＝n，
所以ad⊥平面pnb，得pb⊥ad.
又pb⊥bd，且ad∩bd＝d，得pb⊥平面abcd，所以pb⊥cd.又因為bc⊥cd，且pb∩bc＝b，所以cd⊥平面pbc，所以cd⊥pc，與已知條件pc與cd不垂直矛盾，所以pa≠pd.
4. 已知f(x)＝ax＋(a＞1)．
(1) 證明f(x)在(－1，＋∞)上為增函式；
(2) 用反證法證明方程f(x)＝0沒有負數根．
證明：(1) 設－1＜x1＜x2，則x2－x1＞0，ax2－x1＞1，ax1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，從而f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－＝ax1(ax2－x1－1)＋＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上為增函式．
(2) 設存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)＝0，則ax0＝－.
由0＜ax0＜1 0＜－＜1，即＜x0＜2，此與x0＜0矛盾，故x0不存在．
1. 分析法的特點是從未知看已知，逐步靠攏已知，綜合法的特點是從已知看未知，逐步推出未知．分析法和綜合法各有優缺點．分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較煩；綜合法從條件推出結論，較簡捷地解決問題，但不便於思考，實際證明時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然後再用綜合法敘述出來．
2. 反證法是從否定結論出發，經過邏輯推理，匯出矛盾，說明結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的證明方法．適宜用反證法證明的數學命題：①結論本身是以否定形式出現的一類命題；②關於唯一性、存在性的命題；③結論以「至多」「至少」等形式出現的命題；④結論的反面比原結論更具體更容易研究的命題．
2023年高考數學精華總複習
01.集合與簡易邏輯知識要點 一 知識結構 本章知識主要分為集合 簡單不等式的解法 集合化簡 簡易邏輯三部分 二 知識回顧 一 集合 1.基本概念 集合 元素 有限集 無限集 空集 全集 符號的使用.2.集合的表示法 列舉法 描述法 圖形表示法.集合元素的特徵 確定性 互異性 無序性.集合的性質 任...
2023年高考總複習教學指導數學
2.高考對三角函式的考查，題型 題量及難度基本保持穩定，著重考查三角恒等變形，三角函式的圖象與性質以及正弦定理 餘弦定理應用等。複習中，一要重視三角函式的圖象和性質的研究，特別是形如的函式圖象與性質 二要熟練掌握三角公式，關注三角恒等變形 三要重視三角知識的應用，特別是解三角形及其應用 四要了解以三...
2023年高考數學總複習9空間向量
2013年高考數學總複習精品資料 空間向量 1 理解空間向量的概念 掌握空間向量的加法 減法和數乘 2 了解空間向量的基本定理 理解空間向量座標的概念 掌握空間向量的座標運算 3 掌握空間向量的數量積的定義及其性質 掌握用直角座標計算空間向量數量積的公式 掌握空間兩點間的距離公式 理解空間向量的夾角...