零知識證明（zero-knowledge proof）的思想是：證明者peggy擁有某些知識（如某些長期沒有解決的難問題的解決方法），零知識證明就是在不將該知識的內容洩露給驗證者victor的前提下，peggy向victor證明自己擁有該知識。首先，我們看下面peggy和victor之間的一段對話：
peggy：「我可以對密文為c的訊息進行解密。」
victor：「我不相信。請證明。」
peggy（糟糕的回答）：「金鑰是k，您可以看到訊息解密成了m。」
victor：「哈哈！現在我也知道了金鑰和訊息。」
這裡，peggy雖然證明了自己擁有某些知識（金鑰k及明文m），卻向victor洩露了這些知識。乙個更好的對話是：
peggy：「我可以對加密為c的訊息進行解密。」
victor：「我不相信。請證明。」
peggy（好的回答）：「讓我們使用乙個零知識協議，我將以任意高的概率證明我的知識（但是不會將關於訊息的任何情況洩露給您）。」
victor：「好」。
peggy 和 victor 通過該協議……
可以使用洞穴例子來解釋零知識，c和d之間存在乙個密門，並且只有知道咒語的人才能開啟。peggy知道咒語並想對victor證明，但證明過程中不想洩露咒語。
圖7.13 零知識洞穴
步驟如下：
（1）victor站在a點；
（2）peggy一直走進洞穴，到達c點或者d點；
（3）在peggy消失在洞穴中之後，victor走到b點；
（4）victor隨機選擇左通道或者右通道，要求peggy從該通道出來；
（5）peggy從victor要求的通道出來，如果有必要就用咒語開啟密門；
（6）peggy和victor重複步驟（1）至（5）n次。
如果peggy不知道這個咒語，那麼只能從進去的路出來，如果在協議的每一輪中peggy都能按victor要求的通道出來，那麼peggy所有n次都猜中的概率是1/2n。經過16輪後，peggy只有65536分之一的機會猜中。於是victor可以假定，如果所有16次peggy的證明都是有效的，那麼她一定知道開啟c點和d點間的密門的咒語。
我們來看乙個零知識證明的例子。圖是否同構是np完全問題，對於乙個非常大的圖，判斷兩個圖是否同構是非常困難的。對於圖g1和g2，如果存在乙個一一對應的函式f：
f的定義域是g1的頂點集。f的值域是g2的頂點集。當且僅當[g1,g2]是g1中的一條邊，[f(g1),f(g2)]才是g2中的一條邊，稱g1和g2同構的。
假設peggy知道圖g1和g2之間同構，peggy使用下面的協議將使victor相信g1和g2同構：
（1）peggy隨機置換g1產生另乙個圖h，並且h和g1同構。因為peggy知道g1和h同構，也就知道了h和g2同構。
（2）peggy把h送給victor。
（3）對如下兩個問題victor選擇其中的乙個，要求peggy證明。但是，victor不要求兩者都證明。
證明g1和h同構，或者
證明g2和h同構。
（4）peggy按victor的要求證明。
（5）peggy和victor重複步驟（1）至（4）n次。
如果peggy不知道g1和g2之間的同構性，peggy就只能創造乙個圖或者與g1同構或者與g2同構。每一輪中peggy只有50%的機會猜中victor的選擇。又因為peggy在協議的每一輪都產生乙個新圖h，故不管經過多少輪協議victor也得不到任何資訊，他不能從peggy的答案中了解g1和g2的同構性。
圖同構的零知識證明只具有理論意義，從實現來看，是不實用的。
這裡我們介紹著名的feige-fiat-shamir零知識身份認證協議的乙個簡化方案。
可信賴仲裁選定乙個隨機模數n，n為兩個大素數乘積，實際中至少為為512位或長達1024位。仲裁方產生隨機數v，使x2=v mod n，即v為模n的平方剩餘，且有v-1mod n存在。以v作為peggy的公鑰，而後計算最小的整數s：
s=sqrt(v-1) mod n作為peggy的私鑰。實施身份證明的協議如下：
（1）使用者peggy取隨機數r，這裡r＜m，計算x= r2 mod m，把x送給victor；
（2）victor把乙個隨機位b送給peggy；
（3）若b=0，則peggy將r送給victor；若b=1，則peggy將y=rs 送給victor；
（4）若b=0，則victor驗證x=r2 mod m ，從而證實peggy知道sqrt(x)；若b=1，則victor驗證x= mod m，從而證實peggy知道s。
這是一輪鑑定，peggy和victor可將此協議重複t 次，直到victor相信peggy知道s為止。
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