p.138 - p.139 習題6.4 (實二次型的定性)
1. 判斷下列實二次型是否是正定.
(1)(2)(3) 課本中的第(4)題
解這型別題目可用兩種方法. 法一：直接將二次型化為標準形或規範形，然後判定；法二：寫出二次型的矩陣，判定是否正定，應靈活運用各種判據，包括必要條件，常用順序主子式判據.
解：（採用法二）
(1) 該二次型的矩陣為，其三個順序主子式為：
，， 因此，不是正定矩陣，從而，原二次型不是正定的.
(2) 該二次型的矩陣為，由於的主對角線上有元素為0，表明不是正定矩陣，所以，原二次型不是正定的.（本題運用正定的性質：實對稱矩陣正定，則其主對角元全大於0）
(3) 該二次型的矩陣為. 觀察，對其進行相合變換，得
則相合於，而的第3個主對角元為0，故不是正定的，即不是正定的，原二次型不是正定的.
2. 當取何值時, 下列二次型是正定的?
(1)解：該二次型的矩陣為，
正定的順序主子式全大於0，即
所以，當時，原二次型是正定的. (注：今後遇到此型別題按此格式書寫！)
這裡給出關於正定、半正定的一些性質：
性質1 設，則
(1)為正定或半正定矩陣：當時，為正定矩陣；當時，為半正定矩陣.
(2) 為正定或半正定矩陣：當時，為正定矩陣；當，為半正定矩陣.
(3) 當時，若可逆，則和（注意：二者通常不相等）都是正定矩陣；若不可逆，則和都是半正定矩陣.
證明：只證(1)，其餘的類似可證.
，則為實對稱矩陣，考慮對應的實二次型，
1) 若，則對任意非零列向量，有，設，於是，故根據定義，實二次型是正定的，因此，為正定矩陣.
2) 若，則對任意非零列向量，可能是維零向量，也可能是維非零實向量，設，於是，故實二次型是半正定的，因此，為半正定矩陣.
性質2 如果都是階正定矩陣，則是正定矩陣；如果是階正定矩陣，是階半正定矩陣，則是正定矩陣.
證明：若都是階正定矩陣，則為階實對稱矩陣，現考慮實二次型. 對於任意非零列向量，由正定可知，，，故，因此，為正定二次型，即是正定矩陣. 後乙個結論的證明是類似的，略.
性質3 如果是階正定矩陣，且，則是正定矩陣.
證明簡單，略.（可類似性質2證，也可用正定矩陣判據證）
性質4 如果是階正定矩陣，則和都是正定矩陣.
證明：若是階正定矩陣，則可逆，且存在可逆矩陣，使得，於是，記，則可逆，且，因此，是正定矩陣. 注意到，而正定，，所以由性質3，是正定矩陣.
性質5 設和分別是階和階實對稱矩陣，則分塊對角矩陣是正定矩陣當且僅當和都是正定矩陣.
證明： (證明方法有多種，這裡僅給出一種證法.)
（）若是正定的，則的順序主子式全大於0，而的順序主子式正是的順序主子式的前個，說明的順序主子式全大於0，因此，是正定的. 又，即，
因而也是正定的，類似上面的證明可知，是正定矩陣.
（）若和都是正定矩陣，則存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得，，於是，是可逆矩陣且，因此，是正定矩陣.
由這些性質，第3,4,6,7,10,11,12,13題容易證明.
8. 若是階實方陣, 且對任意的非零向量, 都有. 證明: 存在正定矩陣及反對稱矩陣, 使得, 並且對任意向量，都有. 並問：這樣的正定矩陣和反對稱矩陣是唯一的嗎？
證明： (這裡a是實方陣，沒說是對稱矩陣，所以不能根據條件就說a是正定的.)
由p.33，習題2.1，第12題，a可唯一表示為乙個對稱矩陣與乙個反對稱矩陣c之和，事實上，，其中為實對稱矩陣，為實反對稱矩陣.
對任意非零向量，由於c是反對稱矩陣，則，故，這樣，又有
因此，是正定矩陣.
當然，由於a表示為對稱矩陣與反對稱矩陣之和的表示式是唯一的，所以，滿足題意的正定矩陣和反對稱矩陣是唯一的.
9. 設是階正定矩陣. 證明它的行列式, 且等式成立當且僅當為對角陣.
證明： (數學歸納法，對矩陣階數作歸納)
1° 若為1階正定矩陣，當然，結論成立.
2° 假設結論對所有階正定矩陣成立. 現考慮階正定矩陣情形，設為正定矩陣. 則將分塊為：
，當然，由於是實對稱矩陣，也是實對稱矩陣，且的順序主子式恰為的順序主子式的前個，故皆大於0，即也是正定矩陣，於是，由歸納假設，，並且等式成立當且僅當為對角陣. 此外，根據正定矩陣的性質知，.
說明相合於，那麼也是正定矩陣，於是，. 由於是正定矩陣，也是正定矩陣，則，這樣，. 因此，
易知，上式中等號成立當且僅當：，且. 由歸納假設，當且僅當為對角陣. 而當且僅當，由於是正定矩陣，當且僅當. 因此，等號成立當且僅當：為對角陣且，即為對角陣.
綜上，結論對任意階正定矩陣成立.
14. 設為階正定矩陣, 證明可以表成個半正定矩陣之和.
證明：由於為階正定矩陣，所以存在階可逆矩陣，使得，於是，
顯然，，都是半正定矩陣. 結論得證.
15. 設是正定矩陣, 則二次型是負定的.
證明：記，則
由於是正定矩陣，故是負定矩陣，因此，是負定二次型.
16. 證明正定矩陣的最大元素位於主對角線上. (這條也是正定矩陣的性質)
證明：設是n階正定矩陣，則二次型是正定二次型. 假如的最大元素不在主對角線上，設是的最大元素，取
則，這與二次型正定矛盾. 因此，的最大元素只能在主對角線上.
17. 提示：類似 p.136，定理4，必要性證明. 只是將「延伸」為時，不是在後面直接補0，而是應將的分量分別依次放在第個分量位置，其餘位置放上0.
當然本題也可用合同變換思想證明.
18. 提示：由為實可逆矩陣，利用上面的性質1（或第13題）知，正定，利用第9題即得.
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