學生科目：數學第階段第次課教師： 張雷
知識框架
一、 二次函式與三角形
（一） 二次函式與三角形的面積
（二） 二次函式與三角形的形狀
二、 二次函式與四邊形
（一） 二次函式與四邊形的面積
（二） 二次函式與四邊形的形狀
考點一二次函式與三角形的面積
典型例題
二次函式與三角形的面積
例1.已知矩形abcd中，ab＝2，ad＝4，以ab的垂直平分線為x軸，ab所在的直線為y軸，建立平面直角座標系(如圖)。
(1)寫出a、b、c、d及ad的中點e的座標；
(2)求以e為頂點、對稱軸平行於y軸，並且經過點b、c的拋物線的解析式；
(3)求對角線bd與上述拋物線除點b以外的另一交點p的座標；
(4)△peb的面積s△peb與△pbc的面積s△pbc具有怎樣的關係？證明你的結論。
例2.如圖1，已知直線與拋物線交於兩點．
（1）求兩點的座標；
（2）求線段的垂直平分線的解析式；
（3）如圖2，取與線段等長的一根橡皮筋，端點分別固定在兩處．用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖在直線上方的拋物線上移動，動點將與構成無數個三角形，這些三角形中是否存在乙個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，並指出此時點的座標；如果不存在，請簡要說明理由．
例3.（08江蘇淮安）如圖所示，在平面直角座標系中．二次函式y=a(x-2)2-1圖象的頂點為p，與x軸交點為 a、b，與y軸交點為c．鏈結bp並延長交y軸於點d.
(1)寫出點p的座標；
(2)鏈結ap，如果△apb為等腰直角三角形，求a的值及點c、d的座標；
(3)在(2)的條件下，鏈結bc、ac、ad，點e(0，b)**段cd(端點c、d除外)上,將△bcd繞點e逆時針方向旋轉90°，得到乙個新三角形．設該三角形與△acd重疊部分的面積為s，根據不同情況，分別用含b的代數式表示s．選擇其中一種情況給出解答過程，其它情況直接寫出結果；判斷當b為何值時,重疊部分的面積最大?寫出最大值．
課堂練習
練習1.已知拋物線與x軸交於a、b兩點，與y軸交於c點，
（1）求m的取值範圍；
（2）若，直線經過點a，與y軸交於點d，且，求拋物線的解析式；
（3）若a點在b點左邊，在第一象限內，（2）中所得的拋物線上是否存在一點p，使直線pa平分的面積？若存在，求出p點的座標；若不存在，請說明理由。
練習2. 已知：是方程的兩個實數根，且，拋物線的影象
經過點a()、b().
(1) 求這個拋物線的解析式；
(2) 設（1）中拋物線與軸的另一交點為c,拋物線的頂點為d，試求出點c、d的座標和△bcd的面積；
p是線段oc上的一點，過點p作ph⊥軸，與拋物線交於h點，若直線bc把△pch分成面積之比為2：3的兩部份，請求出p點的座標.
練習3.已知：以直線x=1為對稱軸的拋物線與x軸交於a、b兩點（點a在點b的左邊），且經過點
（4，）和（0，-）。點p（x, y）在拋物線的頂點m的右側的半支上（包括頂點m），在x軸上有一點c使△opc是等腰三角形，op=pc。
（1）若∠opc是直角，求點p的座標；
（2）當點p移動時，過點c作x軸的垂線，交直線am於點q，設△aqc的面積為s，求s關於x的函式解析式和自變數x的取值範圍，並畫出它的圖象。
練習4.以直線為對稱軸的拋物線與軸交於、兩點（點在點的左邊），且經過點和. 點在拋物線的頂點的右側的半支上（包括頂點），在軸上有一點使是等腰三角形，.
（1）若是直角，求點的座標；
（2）當點移動時，過點作軸的垂線，交直線於點，設的面積為，求關於的函式解析式和自變數的取值範圍，並畫出它的圖象.
練習5．已知拋物線
（1）證明拋物線頂點一定在直線y=-x+3上；
（2）若拋物線與x軸交於m、n兩點，當om·on=3，且om≠on時，求拋物線的解析式；
（3）若（2）中所求拋物線頂點為c，與y軸交點在原點上方，拋物線的對稱軸與x軸交於點b，直線y=-x+3與x軸交於點a。點p為拋物線對稱軸上一動點，過點p作pd⊥ac，垂足d**段ac上。試問：
是否存在點p，使？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由。
考點二二次函式與三角形的形狀討論
典型例題例1.（08廣東梅州）如圖所示，在梯形abcd中，已知ab∥cd， ad⊥db，ad=dc=cb，ab=4．以ab所在直線為軸，過d且垂直於ab的直線為軸建立平面直角座標系．
（1）求∠dab的度數及a、d、c三點的座標；
（2）求過a、d、c三點的拋物線的解析式及其對稱軸l．
（3）若p是拋物線的對稱軸l上的點，那麼使pdb為等腰三角形的點p有幾個?（不必求點p的座標，只需說明理由）
例2. 已知拋物線與軸相交於點， ，且是方程的兩個實數根，點為拋物線與軸的交點．
（1）求的值；
（2）分別求出直線和的解析式；
（3）若動直線與線段分別相交於兩點，則在軸上是否存在點，使得為等腰直角三角形？若存在，求出點的座標；若不存在，說明理由．
例3.如圖，矩形是矩形（邊在軸正半軸上，邊在軸正半軸上）繞點逆時針旋轉得到的，點在軸的正半軸上，點的座標為．
（1）如果二次函式（）的圖象經過，兩點且圖象頂點的縱座標為，求這個二次函式的解析式；
（2）在（1）中求出的二次函式圖象對稱軸的右支上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請求出點的座標和的面積；若不存在，請說明理由；
課堂練習
練習1.已知：如圖，拋物線經過、、三點．
（1）求拋物線的函式關係式；
（2）若過點c的直線與拋物線相交於點e （4，m），請求出△cbe的面積s的值；
（3）在拋物線上求一點使得△abp0為等腰三角形並寫出點的座標；
（4）除（3）中所求的點外，在拋物線上是否還存在其它的點p使得△abp為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點（要求簡要說明理由，但不證明）；若不存在這樣的點，請說明理由．
練習2. 已知二次函式的圖象經過點a(-3,6)，並與軸交於b、c兩點（點b在c的左邊），p為它的頂點.
（1）試確定的值；
（2）設點d為線段oc上的一點，且滿足，求直線ad的解析式；
（3）在軸的正半軸上是否存在點m，使為等腰三角形，若存在，求出所有滿足條件的點m的座標，若不存在，請說明理由.
練習3.如圖，拋物線經過的三個頂點，已知軸，點在軸上，點在軸上，且．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）寫出三點的座標並求拋物線的解析式；
（3）**：若點是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點座標；不存在，請說明理由．
練習4.如圖①，在平面直角座標系中，點的座標為，點的座標為，二次函式的圖象記為拋物線．
（1）平移拋物線，使平移後的拋物線過點，但不過點，寫出平移後的乙個拋物線的函式表示式任寫乙個即可）．
（2）平移拋物線，使平移後的拋物線過兩點，記為拋物線，如圖②，求拋物線的函式表示式．
（3）設拋物線的頂點為，為軸上一點．若，求點的座標．
（4）請在圖③上用尺規作圖的方式**拋物線上是否存在點，使為等腰三角形．若存在，請判斷點共有幾個可能的位置（保留作圖痕跡）；若不存在，請說明師．
練習5.（08重慶市卷）已知：如圖，拋物線與y軸交於點c（0，4），與x軸交於點a、b，點a的座標為（4，0）。
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點q是線段ab上的動點，過點q作qe∥ac，交bc於點e，連線cq。當△cqe的面積最大時，求點q的座標；
（3）若平行於x軸的動直線與該拋物線交於點p，與直線ac交於點f，點d的座標為（2，0）。問：是否存在這樣的直線，使得△odf是等腰三角形？
若存在，請求出點p的座標；若不存在，請說明理由。
練習6.如圖1，在平面直角座標系中，有一張矩形紙片oabc，已知o(0，0)，a(4，0)，c(0，3)，點p是oa邊上的動點(與點o、a不重合)．現將△pab沿pb翻摺，得到△pdb；再在oc邊上選取適當的點e，將△poe沿pe翻摺，得到△pfe，並使直線pd、pf重合．
(1)設p(x，0)，e(0，y)，求y關於x的函式關係式，並求y的最大值；
(2)如圖2，若翻摺後點d落在bc邊上，求過點p、b、e的拋物線的函式關係式；
(3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點q，使△peq是以pe為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點q的座標．
考點三二次函式與四邊形的面積
典型例題
例1.（08遼寧瀋陽）如圖所示，在平面直角座標系中，矩形的邊在軸的負半軸上，邊
在軸的正半軸上，且，，矩形繞點按順時針方向旋轉後得到矩形
．點的對應點為點，點的對應點為點，點的對應點為點，拋物線過點．
（1）判斷點是否在軸上，並說明理由；
（2）求拋物線的函式表示式；
（3）在軸的上方是否存在點，點，使以點為頂點的平行四邊形的面積是矩形面積的2倍，且點在拋物線上，若存在，請求出點，點的座標；若不存在，請說明理由．
例2.（08江蘇常州）如圖,拋物線與x軸分別相交於點b、o,它的頂點為a,連線ab,把ab所的直線沿y軸向上平移,使它經過原點o,得到直線l,設p是直線l上一動點.
(1)求點a的座標;
(2)以點a、b、o、p為頂點的四邊形中,有菱形、等腰梯形、
直角梯形,請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點p的座標;
(3)設以點a、b、o、p為頂點的四邊形的面積為s,點p的橫坐
標為x,當時,求x的取值範圍.
課堂訓練
練習1.如圖，已知拋物線l1：y=x2-4的圖象與x軸相交於a、c兩點，b是拋物線l1上的動點(b不與a、c重合)，拋物線l2與l1關於x軸對稱，以ac為對角線的平行四邊形abcd的第四個頂點為d.
(1) 求l2的解析式；
(2) 求證：點d一定在l2上；
(3)□abcd能否為矩形？如果能為矩形，求這些矩形公共部分
的面積(若只有乙個矩形符合條件，則求此矩形的面積)；如果不
能為矩形，請說明理由. 注：計算結果不取近似值
.練習2.如圖,在同一直角座標系內,如果軸與一次函式的圖象以及分別過(1,0)、（4，0）兩點，平行於軸的兩條直線所圍成的圖形abcd的面積為7.
（1）求的值；
（2）求過f、c、d三點的拋物線的解析式；
二次函式的綜合應用
一 典例精析 考點一 二次函式與圓 3 2011邵陽 如圖所示，在平面直角座標系oxy中，已知點a 0 點c 0，3 點b是x軸上一點 位於點a的右側 以ab為直徑的圓恰好經過點c 1 求 acb的度數 2 已知拋物線y ax2 bx 3經過a b兩點，求拋物線的解析式 3 線段bc上是否存在點d，...
二次函式綜合習題
德爾教育2014年國慶九年級數學輔導資料 二次函式的應用姓名得分 一 選擇題 1 拋物線的頂點座標是 a 1，2 b 1，2 c 1，2 d 1，2 2 拋物線與x軸的交點座標是 l，0 和 3，0 則這條拋物線的對稱軸是 a 直線x 1 8 直線x 0 c 直線x 1 d 直線x 3 3 關於x的...
二次函式6 二次函式的概念及特殊二次函式的影象
新知歸納與梳理 主要結論歸納 例題分析 例1 判斷下列函式中，哪些是二次函式？1 2 3 4 例2 函式的影象是拋物線，求的值。例3 二次函式的影象過原點，求的值。例4 若拋物線的頂點在軸上，求的值。例5 在二次函式中，如果，那麼它的影象一定經過點 例6 拋物線的對稱軸是頂點座標是它與拋物線的形狀 ...