1、甘肅）一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖16所示），拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m．
（1）將拋物線放在所給的直角座標系中（如圖17所示），求拋物線的解析式；
（2）求支柱的長度；
（3）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否併排行駛寬2m、高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）？請說明你的理由．
解：（1）根據題目條件，的座標分別是． 1分
設拋物線的解析式為， 2分
將的座標代入，得 3分
解得． 4分
所以拋物線的表示式是． 5分
（2）可設，於是
6分從而支柱的長度是公尺． 7分
（3）設是隔離帶的寬，是三輛車的寬度和，
則點座標是． 8分
過點作垂直交拋物線於，則． 9分
根據拋物線的特點，可知一條行車道能併排行駛這樣的三輛汽車．
變式1如圖，某隧道橫截面的上下輪廓線分別由拋物線對稱的一部分和矩形的一部分構成，最大高度為6公尺，底部寬度為12公尺. 現以o點為原點，om所在直線為x軸建立直角座標系.
(1) 直接寫出點m及拋物線頂點p的座標；
(2) 求出這條拋物線的函式解析式；
(3) 若要搭建乙個矩形「支撐架」ad- dc- cb，使c、d點在拋物線上，a、b點在地面om上，則這個「支撐架」總長的最大值是多少？
2．如圖16，在平面直角座標系中，直線與軸交於點，與軸交於點，拋物線經過三點．
（1）求過三點拋物線的解析式並求出頂點的座標；
（2）在拋物線上是否存在點，使為直角三角形，若存在，直接寫出點座標；若不存在，請說明理由；
（3）試**在直線上是否存在一點，使得的周長最小，若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由．
解：（1）直線與軸交於點，與軸交於點．
， 1分
點都在拋物線上，
拋物線的解析式為 3分
頂點 4分
（2）存在 5分
7分9分（3）存在 10分
理由：解法一：
延長到點，使，連線交直線於點，則點就是所求的點．
11分過點作於點．
點在拋物線上，
在中，，
，，在中，，
，， 12分
設直線的解析式為
解得13分解得在直線上存在點，使得的周長最小，此時． 14分
變式2如圖，拋物線y＝x2＋bx－2與x軸交於a，b兩點，
與y軸交於c點，且a(－1，0)．
（1）求拋物線的解析式及頂點d的座標；（4分）
（2）判斷的形狀，證明你的結論；（4分）
（3）點是x軸上的乙個動點，當mc＋md的值最小時，求m的值．（4分）
[注：拋物線的頂點座標為（）]
例3．如圖9，在平面直角座標系中，二次函式的圖象的頂點為d點，
與y軸交於c點，與x軸交於a、b兩點， a點在原點的左側，b點的座標為（3，0），
ob＝oc ，tan∠aco＝．
（1）求這個二次函式的表示式．
（2）經過c、d兩點的直線，與x軸交於點e，在該拋物線上是否存在這樣的點f，使以點a、c、e、f為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點f的座標；若不存在，請說明理由．
（3）若平行於x軸的直線與該拋物線交於m、n兩點，且以mn為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．
（4）如圖10，若點g（2，y）是該拋物線上一點，點p是直線ag下方的拋物線上一動點，當點p運動到什麼位置時，△apg的面積最大？求出此時p點的座標和△apg的最大面積．
1）方法一：由已知得：c（0，－3），a（－1，0） 1分
將a、b、c三點的座標代入得 2分
解得3分
所以這個二次函式的表示式為3分
方法二：由已知得：c（0，－3），a（－1，01分
設該表示式為2分
將c點的座標代入得3分
所以這個二次函式的表示式為3分
（注：表示式的最終結果用三種形式中的任一種都不扣分）
（2）方法一：存在，f點的座標為（2，－3） 4分
理由：易得d（1，－4），所以直線cd的解析式為：
∴e點的座標為（－3，04分
由a、c、e、f四點的座標得：ae＝cf＝2，ae∥cf
∴以a、c、e、f為頂點的四邊形為平行四邊形
∴存在點f，座標為（2，－35分
方法二：易得d（1，－4），所以直線cd的解析式為：
∴e點的座標為（－3，04分
∵以a、c、e、f為頂點的四邊形為平行四邊形
∴f點的座標為（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）
代入拋物線的表示式檢驗，只有（2，－3）符合
∴存在點f，座標為（2，－3） 5分
（3）如圖，①當直線mn在x軸上方時，設圓的半徑為r（r>0），則n（r+1，r），
代入拋物線的表示式，解得 6分
②當直線mn在x軸下方時，設圓的半徑為r（r>0），
則n（r+1，－r），
代入拋物線的表示式，解得 7分
∴圓的半徑為或． 7分
（4）過點p作y軸的平行線與ag交於點q，
易得g（2，－3），直線ag為． 8分
設p（x，），則q（x，－x－1），pq．
9分當時，△apg的面積最大，
此時p點的座標為，．
變式3如圖，拋物線的頂點p的座標為，交x軸於a、b兩點，交y軸於點．
（1）求拋物線的表示式．（4分）
（2）把△abc繞ab的中點e旋轉180°，得到四邊形adbc．判斷四邊形adbc的形狀，並說明理由．（5分）
（3）試問**段ac上是否存在一點f，使得△fbd的周長最小，若存在，請寫出點f的座標；若不存在，請說明理由．（4分）
例4．如圖15，四邊形是矩形，，，將矩形沿直線摺疊，使點落在處，交於．
（1）求的長；
（2）求過三點拋物線的解析式；
（3）若為過三點拋物線的頂點，一動點從點出發，沿射線以每秒1個單位長度的速度勻速運動，當運動時間（秒）為何值時，直線把分成面積之比為的兩部分？
解：（1）四邊形是矩形，
，． （1分）
又，． （2分）．，
即，解之，得． （3分）
（2）．如圖4，過作於，
． （4分）
，．，．
． （5分）
因點為座標原點，故可設過三點拋物線的解析式為．
解之，得
． （7分）
（3）拋物線的對稱軸為，其頂點座標為．
設直線的解析式為，則解之，得
． （9分）
設直線交直線於，過作於．
．．或，
或，或．
或，即或．
，． （10分）
直線的解析式為．當時，．
直線的解析式為．當時，．
當秒或秒時，直線把分成面積之比為的兩部分
變式4已知直線經過點和點，交軸於點，交軸於點．
（1）求的值；
（2）將直線繞點順時針旋轉得到直線，點在直線上，①證明軸；②試求過三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，連線，作的高，點為上的乙個動點，若將的面積分為兩部分，且射線交過的拋物線於點，試求點的座標．
例5．已知拋物線經過點a（5，0）、b（6，-6）和原點.
（1）求拋物線的函式關係式；
（2）若過點b的直線與拋物線相交於點c（2，m），請求出obc的面積s的值.
（3）過點c作平行於x軸的直線交y軸於點d，在拋物線對稱軸右側位於直線dc下方的拋物線上，任取一點p，過點p作直線pf平行於y軸交x軸於點f，交直線dc於點e. 直線pf與直線dc及兩座標軸圍成矩形ofed（如圖），是否存在點p，使得ocd與cpe相似？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由.
解：（1）由題意得： 2分
解得 3分
故拋物線的函式關係式為 4分
（2）在拋物線上， 5分
點座標為（2，6），、c在直線上
解得直線bc的解析式為 6分
設bc與x軸交於點g，則g的座標為（4，0）
7分（3）存在p，使得∽ 8分
設p，故若要∽，則要或
即或解得或
又在拋物線上，或
解得或故p點座標為和
變式5如圖已知二次函式圖象的頂點座標為，直線的圖象與該二次函式的圖象交於兩點，其中點座標為，點在軸上，直線與軸的交點為．為線段上的乙個動點（點與不重合），過作軸的垂線與這個二次函式的圖象交於點．
（1）求的值及這個二次函式的解析式；
（2）設線段的長為，點的橫座標為，求與之間的函式關係式，並寫出自變數的取值範圍；
（3）為直線與這個二次函式圖象對稱軸的交點，**段上是否存在點，使得以點為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的座標；若不存在，請說明理由．
例6：（14分）如圖，拋物線經過的三個頂點，已知軸，點在軸上，點在軸上，且．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）寫出三點的座標並求拋物線的解析式；
（3）**：若點是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點座標；不存在，請說明理由．
解：（1）拋物線的對稱軸 2分
（25分
把點座標代入中，解得 6分
7分（3）存在符合條件的點共有3個．以下分三類情形探索．
設拋物線對稱軸與軸交於，與交於．
過點作軸於，易得，，，
1 以為腰且頂角為角的有1個：．
8分在中，9分②以為腰且頂角為角的有1個：．
在中， 10分
11分③以為底，頂角為角的有1個，即．
畫的垂直平分線交拋物線對稱軸於，此時平分線必過等腰的頂點．
過點作垂直軸，垂足為，顯然．
． 於是 13分
14分例7、如圖12，p是邊長為1的正方形abcd對角線ac上一動點（p與a、c不重合），點e在射線bc上，且pe=pb.
（1）求證：① pe=pd ； ② pe⊥pd；（2）設ap=x, △pbe的面積為y.
① 求出y關於x的函式關係式，並寫出x的取值範圍；② 當x取何值時，y取得最大值，並求出這個最大值.
1）證法一：
① ∵ 四邊形abcd是正方形，ac為對角線，
∴ bc=dc, ∠bcp=∠dcp=451分）
∵ pc=pc，
∴ △pbc≌△pdc （sas2分）
∴ pb= pd， ∠pbc=∠pdc3分）
二次函式綜合訓練題
1 2013雅安 如圖，已知拋物線y ax2 bx c經過a 3，0 b 1，0 c 0，3 三點，其頂點為d，對稱軸是直線l，l與x軸交於點h 1 求該拋物線的解析式 2 若點p是該拋物線對稱軸l上的乙個動點，求 pbc周長的最小值 3 如圖 2 若e是線段ad上的乙個動點 e與a d不重合 過e...
二次函式綜合訓練 河北中考
1 2012河北，24題9分 某工廠生產一種合金薄板 其厚度忽略不計 這些薄板的形狀均為正方形，邊長 單位 cm 在5 50之間，每張薄板的成本價 單位 元 與它的面積 單位 成正比例，每張薄板的出廠價 單位 元 由基礎價和浮動價兩部分組成，其中基礎價與薄板的大小無關，是固定不變的，浮動價與薄板的邊...
二次函式專題訓練
一 二次函式基礎知識鞏固訓練 1 拋物線的開口方向為 與軸交點座標為 對稱軸為當時，隨的增大而 當時，函式取得最值為 2 拋物線的開口方向為 頂點座標為 對稱軸為把拋物線沿軸向平移個單位可得拋物線。3 拋物線的開口方向為 頂點座標為 對稱軸為把拋物線沿軸向平移個單位，再沿軸向平移個單位可得拋物線。4...