1．如圖，在直角座標系xoy中，正方形ocba的頂點a，c分別在y軸，x軸上，點b座標為（6，6），拋物線y=ax2+bx+c經過點a，b兩點，且3a-b=-1．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果動點e，f同時分別從點a，點b出發，分別沿a→b，b→c運動，速度都是每秒1個單位長度，當點e到達終點b時，點e，f隨之停止運動，設運動時間為t秒，△ebf的面積為s．
①試求出s與t之間的函式關係式，並求出s的最大值；
②當s取得最大值時，在拋物線上是否存在點r，使得以e，b，r，f為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點r的座標；如果不存在，請說明理由．
【解析】
試題分析：（1）由於四邊形oabc是正方形，易知點a的座標，將a、b的座標分別代入拋物線的解析式中，聯立3a-b=-1，即可求得待定係數的值．
（2）①用t分別表示出be、bf的長，利用直角三角形面積公式求出△ebf的面積，從而得到關於s、t的函式關係式，根據函式的性質即可求得s的最大值；
②當s取最大值時，即可確定be、bf的長，若e、b、r、f為頂點的四邊形是平行四邊形，可有兩種情況：一、eb平行且相等於fr，二、er平行且相等於fb；只需將e點座標向上、向下平移bf個單位或將f點座標向左、向右平移be個單位，即可得到r點座標，然後將它們代入拋物線的解析式中進行驗證，找出符合條件的r點即可．
（1）由已知a（0，6），b（6，6）在拋物線上，
得方程組，解得．
（2）①運動開始t秒時，eb=6-t，bf=t，
s=ebbf=（6-t）t=-t2+3t，因為s=-t2+3t=-（t-3）2+，所以當t=3時，s有最大值．
②當s取得最大值時，∵由①知t=3，∴bf=3，cf=3，eb=6-3=3，
若存在某點r，使得以e，b，r，f為頂點的四邊形是平行四邊形，
則fr1=eb且fr1∥eb，即可得r1為（9，3），r2（3，3）；
或者er3=bf，er3∥bf，可得r3（3，9）．
再將所求得的三個點代入y=-x2+x+6，可知只有點（9，3）在拋物線上，
因此拋物線上存在點r（9，3），使得四邊形ebrf為平行四邊形．
考點：二次函式綜合題
2．如圖，在平面直角座標系中，o為座標原點，點a、b的座標分別為（8，0）、（0，6）．動點q從點o、動點p從點a同時出發，分別沿著oa方向、ab方向均以1個單位長度/秒的速度勻速運動，運動時間為t（秒）（0＜t≤5）．以p為圓心，pa長為半徑的⊙p與ab、oa的另乙個交點分別為c、d，連線cd、qc．
（1）求當t為何值時，點q與點d重合？
（2）設△qcd的面積為s，試求s與t之間的函式關係式，並求s的最大值；
（3）若⊙p與線段qc只有乙個交點，請直接寫出t的取值範圍．
【解析】解：（1）∵a（8，0），b（0，6），
∴oa=8，ob=6，
∴ab===10，
∴cos∠bao==，sin∠bao==．
∵ac為⊙p的直徑，
∴△acd為直角三角形．
∴ad=accos∠bao=2t×=t．
當點q與點d重合時，oq+ad=oa，
即：t+t=8，解得：t=．∴t=（秒）時，點q與點d重合．
（2）在rt△acd中，cd=acsin∠bao=2t×=t．①當0＜t≤時，
dq=oa﹣oq﹣ad=8﹣t﹣t=8﹣t．∴s=dqcd=（8﹣t）t=﹣t2+t．
∵﹣=，0＜＜，∴當t=時，s有最大值為；
②當＜t≤5時，dq=oq+ad﹣oa=t+t﹣8=t﹣8．
∴s=dqcd=（t﹣8）t=t2﹣t．
∵﹣=，＜，所以s隨t的增大而增大，∴當t=5時，s有最大值為15＞．
綜上所述，s的最大值為15．
（3）當cq與⊙p相切時，有cq⊥ab，
∵∠bao=∠qac，∠aob=∠acq=90°，∴△acq∽△aob，∴=，
即=，解得t=．所以，⊙p與線段qc只有乙個交點，t的取值範圍為0＜t≤或＜t≤5．
（1）根據點a、b的座標求出oa、ob，利用勾股定理列式求出ab，根據點q的速度表示出oq，然後求出aq，再根據直徑所對的圓周角是直角可得∠adc=90°，再利用∠bao的余弦表示出ad，然後列出方程求解即可；
（2）利用∠bao的正弦表示出cd的長，然後分點q、d重合前與重合後兩種情況表示出qd，再利用三角形的面積公式列式整理，然後根據二次函式的最值問題解答；
（3）有兩個時段內⊙p與線段qc只有乙個交點：①運動開始至qc與⊙p相切時（0＜t≤）；②重合分離後至運動結束（＜t≤5）．
3．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點座標為（4，-），且與y軸交於點c（0，2），與x軸交於a，b兩點（點a在點b的左邊）．
（1）求拋物線的解析式及a，b兩點的座標；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點p，使ap+cp的值最小？若存在，求ap+cp的最小值，若不存在，請說明理由；
（3）在以ab為直徑的⊙m相切於點e，ce交x軸於點d，求直線ce的解析式．
【解析】
解：（1）如圖，
由題意，設拋物線的解析式為y=a（x-4）2-（a≠0）
∵拋物線經過（0，2）∴a（0-4）2-=2解得：a=，
∴y=（x-4）2-，即：y=x2-x+2
當y=0時，x2-x+2=0解得：x=2或x=6∴a（2，0），b（6，0）；
（2）存在，如圖2，由（1）知：拋物線的對稱軸l為x=4，
因為a、b兩點關於l對稱，連線cb交l於點p，則ap=bp，所以ap+cp=bc的值最小
∵b（6，0），c（0，2）∴ob=6，oc=2∴bc=2，∴ap+cp=bc=2，∴ap+cp的最小值為2；
（3）如圖3，連線me，
∵ce是⊙m的切線
∴me⊥ce，∠cem=90°
由題意，得oc=me=2，∠odc=∠mde
∵在△cod與△med中
，∴△cod≌△med（aas），
∴od=de，dc=dm
設od=x則cd=dm=om-od=4-x
則rt△cod中，od2+oc2=cd2，
∴x2+22=（4-x）2∴x=，∴d（，0）
設直線ce的解析式為y=kx+b∵直線ce過c（0，2），d（，0）兩點，
則，解得：。∴直線ce的解析式為y=-x+2。
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