06屆數學(第二輪)專題訓練
第四講: 二次函式
學校學號班級姓名
知能目標
1. 了解二函式、一元二次不等式及一元二次方程三者之間的關係, 掌握一元二次不等式的解法.
2. 掌握二次函式的性質與圖象特徵.
綜合脈絡
1. 二次函式的圖象是拋物線, 以直線為對稱軸, 頂點為
它與軸交點的橫座標是方程的根, 它在軸上截得線段長為:
. 當且時, 有恆成立;
當且時,恆成立.
二次函式常用的另兩種表達形式為:
頂點式:其中為拋物線頂點
雙根式:其中、為方程的兩根.
2. 二次函式是與其他知識聯絡密切、實際應用廣泛的一類基本初等函式
儘管在初中學過, 但在高中有關函式理論的指導下, 其性質和應用的討論達到相當的深度,
因而是高中靈活多變, 重點考查的內容之一. 複習中要熟練做到:
(1) 能靈活運用圖象及其性質解決問題 (比如二次方程實根分布問題);
(2) 注意用數形結合的思想來解決一元二次函式, 一元二次方程, 一元二次不等式的相關問題
(包括與解析幾何聯絡的問題);
(3) 注意化歸思想在一員二次函式及相關知識中的運用, 注意應用題中建立二次函式的模型.
(一) 典型例題講解:
例1. (1) 不等式的解集為, 則函式的圖象
為(2) 已知, 則函式的最小值是
a. 1bcd.
例2. 已知二次函式．
(1) 若對於任意r, 有成立, 求實數的取值範圍；
(2) 若時，有, 試求實數的取值範圍.
例3. 設當x∈時,恆成立, 求實數a的取值範圍.
(二) 專題測試與練習:
一. 選擇題1. 若關於x的不等式對任意x∈恆成立, 則
abcd.
2. 已知函式y＝是單調遞增函式, 則實數a的取值範圍是
abcd.
3. 設函式, 對任意實數t都有成立. 問:在函
數值、、、中, 最小的乙個不可能是
abcd.
4. 不等式的解集是, 則等於
a. －4b. 14c. －10d. 10
5. 當時，二次函式的值域為
a. b. c. d.
6. 已知的對稱軸方程為, 則下列判斷正確的是 ( )
a. b. c. d.
二. 填空題
7. 若二次函式, 有, 則
8. 已知x 2,是一次函式且為增函式, 若則
9. 已知函式－在區間上是增函式, 則實數a的範圍
是10. 若、是關於x的方程的兩個實根, 則的最小
值為三. 解答題
11. 已知二次函式滿足, 其圖象頂點為a, 圖象與x軸交於點
b和c點, 且△abc的面積為18, 寫出此二次函式的解析式.
12. 若恒大於0, 求實數a的取值範圍.
13. 已知, 若在區間上的最大值為, 最小值為
, 令.
(1) 求的函式表示式；
(2) 判斷的單調性, 並求出的最小值.
14. 設二次函式, 方程的兩根滿足.
（1）當時, 證明:
（2）設函式的圖象關於直線對稱, 證明:.
二次函式解答(一) 典型例題
例1 (1) c; (2) a.
例2 (1) 因函式是二次函式得
又因對於任意r, 有成立, 得到函式是凹函式,
從而得出
(2) 由等價於, 即, 而x,
① 當時, ,式顯然成立;
② 當x時,式化為在x上恆成立.
設, 則有所以只須
又, 故得到.
綜上所述, a的取值範圍是.
例3當x∈時,恆成立,
只要的最小值大於等於a即可,
(1) 當x時,
(2) 當x時,
綜上所述:
(二) 專題測試與練習
一. 選擇題
二. 填空題
7. 08910. 8 .
三. 解答題
11. 解：對稱軸為, 頂點座標為
設二次函式解析式為:, 設,
, 即有,
由點座標代入得:
或12. 解：
令, 則, 由題意得在時恆成立,
可變為…………（1）
當時上面不等式（1）顯然成立, 當時, 因為, 所以不等式（1）可
變為, 令,
則(當且僅當時取等號)
因此a的取值範圍是.
13. 解：(1) 函式的對稱軸為直線, 而
∴在上①當時，即時，
②當2時，即時，
(2).14. 解：證明：（1）令.
是方程的兩根，∴.
當時，由於所以.
又因，得.
即從而得到．
又因,因，∴.
因,∴.
綜上可知.
（2）由題意知是方程的兩根,
即是方程的兩根,
∴.∴．
∴.又因, ∴.
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