一．填空題：
1． 在區間[, 2]上，函式f (x) = x2-px+q與g (x) = 2x +在同一點取得相同的最小值，
那麼f (x)在[,2]上的最大值是
42．設函式f (x)=，若f (-4) = f (0)，f(-2)= -2，則關於x的方程f(x) =x
的解的個數為
3(-2,-1,2)
3．函式是單調函式的充要條件的是
4． 對於二次函式，若在區間內至少存在乙個數c 使得，則實數的取值範圍是
5．已知方程的兩根為，並且，則的取值範圍是
6．若函式f (x) = x2+(a+2)x+3，x∈[a, b]的圖象關於直線x = 1對稱，則b
7．若不等式x4+2x2+a2-a -2≥0對任意實數x恆成立，則實數a的取值範圍是
8．已知函式f (x) =|x2-2ax+b| (x∈r)，給出下列命題：①f (x)必是偶函式；②當f (0) = f (2)時，f (x)的圖象必關於直線x = 1對稱；③若a2-b≤0，則f (x)在區間[a, +∞)上是增函式；④f (x)有最大值|a2 -b|；其中正確命題的序號是
9．已知二次函式，滿足條件，其圖象的頂點為a，又圖象與軸交於點b、c，其中b點的座標為，的面積s=54，試確定這個二次函式的解析式
10． 已知為常數，若，則 ．
11． 已知函式若存在實數，當時，恆成立，則實數的最大值為
12．設是定義在上的奇函式，且當時，，若對任意的，
不等式恆成立，則實數的取值範圍是
13．設,是二次函式，若的值域是，則的值
域是14．函式的最小值為
二、解答題：
15．已知函式，當時，恒有，求m的取值範圍．
16．設a為實數，函式f (x) = x2+|x-a|+1，x∈r．
（1）討論函式f (x)的奇偶性；
（2）求函式f (x)的最小值．
17．已知的圖象過點(-1，0)，是否存在常數a，b，c，使得不等式對一切實數x都成立．
18．已知a是實數，函式，如果函式在區間上有零點，求a的取值範圍．
19．設函式f(x)=其中a為實數．
(ⅰ)若f(x)的定義域為r,求a的取值範圍；
(ⅱ)當f(x)的定義域為r時，求f(x)的單減區間．
20．已知函式，是方程f(x)=0的兩個根，是f(x)的導數；設，（n=1,2,……）
（1）求的值；（2）（理做）證明：對任意的正整數n，都有》；
（3）記（n=1,2,……），求數列的前n項和sn．
1．二次函式答案
新海高階中學楊緒成舒燕
一、填空題：
1. 在區間[, 2]上，函式f (x) = x2-px+q與g (x) = 2x +在同一點取得相同的最小值，
那麼f (x)在[,2]上的最大值是 4 ．
2.設函式f (x)=，若f (-4) = f (0)，f(-2)= -2，則關於x的方程f(x) =x
的解的個數為 3 .
3.函式是單調函式的充要條件的是 b≥0 .
4. 對於二次函式，若在區間內至少存在乙個數c 使得，則實數的取值範圍是 (-3,1.5) .
5.已知方程的兩根為，並且，則的取值範
圍是.6．若函式f (x) = x2+(a+2)x+3，x∈[a, b]的圖象關於直線x = 1對稱，則b = 6 .
7．若不等式x4+2x2+a2-a -2≥0對任意實數x恆成立，則實數a的取值範圍是.
8．已知函式f (x) =|x2-2ax+b| (x∈r)，給出下列命題：①f (x)必是偶函式；②當f (0) = f (2)時，f (x)的圖象必關於直線x = 1對稱；③若a2-b≤0，則f (x)在區間[a, +∞)上是增函式；④f (x)有最大值|a2 -b|；其中正確命題的序號是
9.已知二次函式，滿足條件，其圖象的頂點為a，又圖象與軸交於點b、c，其中b點的座標為，的面積s=54，試確定這個二次函式的解析式.
10. 已知為常數，若，則 2 .
11. 已知函式若存在實數，當時，恆成立，則實數的最大值為 4 .
12.設是定義在上的奇函式，且當時，，若對任意的，不等式恆成立，則實數的取值範圍是.
13.設,是二次函式，若的值域是，則的值域
是；14.函式的最小值為.
二、解答題：
15．已知函式，當時，恒有，求m的取值範圍．
思路點撥:此題為動軸定區間問題,需對對稱軸進行討論.
解: 當即時,
當即時,.
綜上得:或.
點評:分類討論要做到不漏掉任何情況,尤其是端點處的數值不可忽視.最後結果要取並集.
變式訓練: 已知,當時,的最小值為,求的值.
解:，.
當時，．
當時，．
16．設a為實數，函式f(x) = x2+|x-a|+1，x∈r，
（1）討論函式f (x)的奇偶性；
（2）求函式f (x)的最小值．
思路點撥:去絕對值,將問題轉化成研究分段函式的性質.
解:(1)當時, ,函式為偶函式;
當時,，
此時函式為非奇非偶函式;
(2) =
當時, ,
此時,;
當時,當時,點評:把握每段函式,同時綜觀函式整體特點,是解決本題的關鍵.
17. 已知的圖象過點（-1，0），是否存在常數a，b，c，使得不等式對一切實數x都成立.
思路點撥:本題為不等式恆成立時探尋引數的取值問題.
解:當時，,
又可得；由對一切實數x都成立，
則於是又，,此時.
綜上可得,存在,使得不等式對一切實數x都成立.
點評: 挖掘不等式中隱含的特殊值,得到以及是解題關鍵.
變式訓練：設函式是奇函式（都是整數）且.
（1）求的值；（2）當的單調性如何？用單調性定義證明你的結論.
略解(1).(2) 當在上單調遞增,在上單調遞減.
18. 已知a是實數，函式，如果函式在區間上有零點，求a的取值範圍.
解析1：函式在區間[-1，1]上有零點，即方程=0在[-1，1]上有解.
a=0時，不符合題意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或
或或或a≥1.
所以實數a的取值範圍是或a≥1.
點評：通過數形結合來解決一元二次方程根的分布問題.
解析2：a=0時，不符合題意，所以a≠0,又
∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，問題轉化為求函式[-1，1]上的值域；設t=3-2x，x∈[-1，1]，則，t∈[1,5],，
設，時，，此函式g(t)單調遞減，時， >0,此函式g(t)單調遞增，∴y的取值範圍是，∴ =0在[-1，1]上有解∈或.
點評: 將原題中的方程化成的形式, 問題轉化為求函式[-1，1]上的
值域的問題,是解析2的思路走向.
變式訓練:設全集為r，集合，集合關於x的方程的根乙個在（0，1）上，另乙個在（1，2）上}. 求()∩()．
解：由,，
即,∴ ．
又關於x的方程的根乙個在（0，1）上，另乙個在（1，2）上，
設函式，則滿足
，∴．∴
∴()∩()．
19.設函式f(x)=其中a為實數.
(ⅰ)若f(x)的定義域為r,求a的取值範圍；
(ⅱ)當f(x)的定義域為r時，求f(x)的單減區間.
解：（1）由題意知，恆成立，；
（2），令得；由得或
又，時，由得；
當時，；當時，由得，
即當時，的單調減區間為；
當時，的單調減區間為．
變式訓練：已知函式函式的最小值為.
（ⅰ）求；（ⅱ）是否存在實數m，n同時滿足下列條件：①m>n>3；②當的定義域為[n，m]時，值域為[n2，m2]？ 若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．
解：（ⅰ）∵
設當時；
當時，；
當 ∴
（ⅱ）∵m>n>3， ∴上是減函式.
∵的定義域為[n，m]；值域為[n2，m2]，
∴ 可得
∵m>n>3， ∴m+n=6，但這與「m>n>3」矛盾.
∴滿足題意的m，n不存在．
20.已知函式，是方程f(x)=0的兩個根，是f(x)的導數；設，（n=1,2,……）
（1）求的值；（2）（理做）證明：對任意的正整數n，都有》；
（3）記（n=1,2,……），求數列的前n項和sn .
思路點撥:本題考察數列的綜合知識,將遞推數列與函式、導數有機地結合，加大了題目的綜合力度.
解：（1）由求根公式，及得方程兩根為.
(2)要證需證.
.下面用數學歸納法證明:
當時, ,命題成立；
假設時命題成立,即,．
則當時, ,命題成立.
根據數學歸納法可知,對任意的正整數都有成立.
(3)由已知和(2), ,
所以.點評:本題考察了求根公式及數學歸納法等數學方法的同時，也考察了轉化與化歸的數學思想, 即將已知數列轉化成等比數列，本題對變形和運算要求較高.
補充:函式有如下性質：①函式是奇函式；②函式在上
是減函式，在上是增函式.
（1）如果函式（x>0）的值域是，求b的值；
（2）判斷函式（常數c>0）在定義域內的奇偶性和單調性，並加以證明；
（3）對函式（常數c>0）分別作出推廣，使它們是你推廣的函式的特例.判斷推廣後的函式的單調性（只需寫出結論，不要證明）.
解:（1）因為
（2）設
故函式為偶函式.
設函式在上是增函式；
當0則為減函式，設
則是偶函式，
所以所以函式上是減函式，
同理可證，函式上是增函式.
（3）可以推廣為研究函式的單調性.
當n是奇數時，函式上是增函式，
在上是減函式；
當n是偶數時，函式上是增函式，
在上是減函式．
二次函式專題複習
知識點歸納 1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點.3 頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函式的影象是對稱軸平...
二次函式專題講解
一 知識綜述 1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式用配方法可化成 的形式，其中。3.求拋物線的頂點 對稱軸的方法 1 公式法 頂點是，對稱軸是直線.2 配方法 運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為 對稱軸是直線.4.二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式...
二次函式專題2019
1 如圖，過a 1，0 b 3，0 作x軸的垂線，分別交直線y 4 x於c d兩點 拋物線y ax2 bx c經過o c d三點 1 求拋物線的表示式 2 點m為直線od上的乙個動點，過m作x軸的垂線交拋物線於點n，問是否存在這樣的點m，使得以a c m n為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時...