一、知識綜述：
1.定義：一般地，如果是常數，，那麼叫做的二次函式.
2.二次函式用配方法可化成：的形式，其中。
3.求拋物線的頂點、對稱軸的方法
（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
4.二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式
它們的影象特徵如下：
開口大小與｜a｜成反比，｜a｜越大，開口越小；｜a｜越小，開口越大。
5.用待定係數法求二次函式的解析式
（1）一般式：.已知影象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
（2）頂點式：.已知影象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
（3）交點式：已知影象與軸的交點座標、，通常選用交點式：.
6.二次函式圖象的平移
左加右減（對x），上加下減（對y）。
2、考點分析及例題解析
考點一：二次函式的概念
例1：如果函式是二次函式，那麼m的值為
考點二：二次函式的圖象
例2（2023年廣東省廣州市）已知拋物線y＝－x2＋2x＋2．
（1）該拋物線的對稱軸是 ，頂點座標
（2）選取適當的資料填入下表，並在圖7的直角座標系內描點畫出該拋物線的圖象；
（3）若該拋物線上兩點a（x1，y1），b（x2，y2）的橫座標滿足x1＞x2＞1，試比較y1與y2的大小．
例3 (2023年安徽省蕪湖市)二次函式y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，反比例函式y＝與正比例函式y＝（b＋c）x在同一座標系中的大致圖象可能是（ ）
例4 (2023年蘭州市)拋物線影象向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得影象的解析式為，則b、c的值為（ ）
a . b=2， c=2 b. b=2，c=0 c . b= -2，c=-1 d. b= -3， c=2
例5.（2006，大連）右圖是二次函式y1=ax2+bx+c和一次函式y2=mx+n的影象，觀察影象寫出y2≥y1時，x的取值範圍_______．
變式訓練：
1、在同一座標系中，直線和拋物線的圖象只可能是（ ）
2、（2008，山西）拋物線y=－2x2－4x－5經過平移得到y=－2x2，平移方法是（ ）
a．向左平移1個單位，再向下平移3個單位
b．向左平移1個單位，再向上平移3個單位
c．向右平移1個單位，再向下平移3個單位
d．向右平移1個單位，再向上平移3個單位
考點三：確定二次函式的解析式
例4：（2023年寧波市）如圖，已知二次函式的圖象經過a（2，0）、b（0，－6）兩點。
（1）求這個二次函式的解析式
（2）設該二次函式的對稱軸與軸交於點c，
鏈結ba、bc，求△abc的面積。
解：（1）把a（2，0）、b（0，－6）代入
得： 解得
∴這個二次函式的解析式為
（2）∵該拋物線對稱軸為直線
∴點c的座標為（4，0）∴∴
變式訓練：
1、已知：函式的圖象如圖：那麼函式解析式為（ ）
（a） （b）
（c） （d）
考點四：最值問題
例5：矩形abcd的邊ab=6 cm，bc=8 cm，在bc上取一點p，在cd邊上取一點q，使∠apq成直角，設bp=x cm，cq=y cm，試以x為自變數，寫出y與x的函式關係式.並求出cq的最大值。
例6：如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，它與x軸交於a,b兩點，與y軸交於c點。點a,c的座標分別是(-1,0),(0,)
（1）求此拋物線對應的函式解析式；
（2）若點p是拋物線上位於軸上方的乙個動點，求△abp的面積的最大值。
變式訓練：
1、將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，並以每一段鐵絲的長度為周長各做成乙個正方形，則這個正方形面積之和的最小值是________cm。
2、 如圖，在rt⊿abc中，∠c=90°，bc=4，ac=8，點d在斜邊ab上，分別作de⊥ac，df⊥bc，垂足分別為e、f，得四邊形decf，設de=x，df=y．
（1）用含y的代數式表示ae；
（2）求y與x之間的函式關係式，並求出x的取值範圍；
（3）設四邊形decf的面積為s，求s與x之間的函式關係，並求出s的最大值．
考點五：以二次函式為基架的綜合題
例7：某超市經銷一種銷售成本為每件40元的商品。據市場調查分析，如果按每件50元銷售，一周能售出500件，若銷售單價每漲1元，每週的銷售量就減少10件。
設銷售單價為每件x元（x≥50）,一周的銷售量為y件。
（1）寫出y與x的函式關係式；（標明x的取值範圍）
（2）設一周的銷售利潤為s，寫出s與x的函式關係式，並確定當單價在什麼範圍內變化時，香洲隨著單價的增大而增大；
（3）在超市對該種商品投入不超過10000元的情況下，使得一周銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？
變式訓練：
某商店經銷一種銷售成本為每件40元的商品．據市場分析，若按每件50元銷售，乙個月能售出210件；銷售單價每漲1元，則每個月少賣10件．設每件商品的售價**x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元。
(1)求y與x的函式關係式，並直接寫出自變數x的取值範圍；
(2)每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大的利潤？最大利潤是多少元？
三、課堂練習
1．已知二次函式有最小值 –1，則a與b之間的大小關係是
a．a＜b b．a=b c．a＞b d．不能確定
2．（2008，長沙）二次函式y=ax2+bx+c的影象如圖所示，則下列關係式不正確的是（ ）
a．a<0 b．abc>0 c．a+b+c<0 d．b2－4ac>0
3．（2008，威海）已知二次函式y=ax2+bx+c的影象過點a（1，2），b（3，2），c（5，7）．若點m（－2，y1），n（－1，y2），k（8，y3）也在二次函式y=ax2+bx+c的影象上，則下列結論中正確的是（ ）
a．y14．如圖所示，拋物線的函式表示式是（ ）
a．y=x2－x+2 b．y=－x2－x+2 c．y=x2+x+2 d．y=－x2+x+2
5．（2008，泰安）在同一直角座標系中，函式y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常數，且m≠0）的影象可能是（ ）
6．求下列函式的最大值或最小值．
（12）．
7．已知二次函式的最小值為1，求m的值．
8．心理學家發現，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（單位：分）之間滿足函式關係：．y值越大，表示接受能力越強．
（1）x在什麼範圍內，學生的接受能力逐步增強？x在什麼範圍內，學生的接受能力逐步降低？
（2）第10分時，學生的接受能力是多少？
（3）第幾分時，學生的接受能力最強？
9．如圖，有長為24m的籬笆，一面利用牆（牆的最大可用長度a為10m），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．設花圃的寬ab為x m，面積為s m2．
（1）求s與x的函式關係式；
（2）如果要圍成面積為45 m2的花圃，ab的長是多少公尺？
（3）能圍成面積比45 m2更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，並說明圍法；如果不能，請說明理由．
10．如圖，矩形abcd中，ab=3，bc=4，線段ef在對角線ac上，eg⊥ad，fh⊥bc，垂足分別是g、h，且eg+fh=ef．
（1）求線段ef的長；
（2）設eg=x，⊿age與⊿cfh的面積和為s，
寫出s關於x的函式關係式及自變數x的取值範圍，並求出s的最小值．
11．在排球賽中，一隊員站在邊線發球，發球方向與邊線垂直，球開始飛行時距地面1．9公尺，當球飛行距離為9公尺時達最大高度5．5公尺，已知球場長18公尺，問這樣發球是否會直接把球打出邊線？
12. 某公司推出了一種高效環保型洗滌用品，年初上市後，公司經歷了從虧損到贏利的過程．
下面的二次函式圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤s（萬元）與銷售時間t（月）之間的關係（即前t個月的利潤總和s與t之間的關係）．
根據圖象提供的資訊，解答下列問題：
（1）由已知圖象上的三點座標，求累積利潤s（萬元）與時間t（月）之間的函式關係式；（2）求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元；（3）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？
13．如圖，一位運動員在距籃下4m處跳起投籃，球執行的路線是拋物線，當球執行的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5m，然後準確落入籃圈，已知籃圈中心到地面的距離為3.05m．
（1）建立如圖所示的直角座標系，求拋物線的函式關係式；
（2）該運動員身高1.8m，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25m處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？
二次函式專題
一 填空題 1 在區間 2 上，函式f x x2 px q與g x 2x 在同一點取得相同的最小值，那麼f x 在 2 上的最大值是 42 設函式f x 若f 4 f 0 f 2 2，則關於x的方程f x x 的解的個數為 3 2,1,2 3 函式是單調函式的充要條件的是 4 對於二次函式，若在區間...
二次函式專題複習
知識點歸納 1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點.3 頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函式的影象是對稱軸平...
二次函式專題2019
1 如圖，過a 1，0 b 3，0 作x軸的垂線，分別交直線y 4 x於c d兩點 拋物線y ax2 bx c經過o c d三點 1 求拋物線的表示式 2 點m為直線od上的乙個動點，過m作x軸的垂線交拋物線於點n，問是否存在這樣的點m，使得以a c m n為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時...