二次函式考查重點與常見題型
1． 考查二次函式的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：
已知以為自變數的二次函式的影象經過原點， 則的值是
2． 綜合考查正比例、反比例、一次函式、二次函式的影象，習題的特點是在同一直角座標系內考查兩個函式的影象，試題型別為選擇題，如：
如圖，如果函式的影象在第
一、二、三象限內，那麼函式的影象大致是（ ）
yyyy
110 xo-1 x 0 x0 -1 x
abcd
3． 考查用待定係數法求二次函式的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題型別有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：
已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。
4． 考查用配方法求拋物線的頂點座標、對稱軸、二次函式的極值，有關試題為解答題，如：
已知拋物線（a≠0）與x軸的兩個交點的橫座標是－1、3，與y軸交點的縱座標是－
（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點座標.
5．考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。
【例題經典】
由拋物線的位置確定係數的符號
例1 （1）二次函式的影象如圖1，則點在（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
（2）已知二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函式值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數是（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
12)【點評】弄清拋物線的位置與係數a，b，c之間的關係，是解決問題的關鍵．
例2.已知二次函式y=ax2+bx+c的圖象與x軸交於點(-2，o)、(x1，0)，且1o；③4a+co，其中正確結論的個數為( )
a 1個 b. 2個 c. 3個 d．4個
答案：d
會用待定係數法求二次函式解析式
例3.已知：關於x的一元二次方程ax2+bx+c=3的乙個根為x=-2，且二次函式y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點座標為( )
a(2，-3) b.(2，1) c(2，3) d．(3，2)
答案：c
例4、（2023年煙台市）如圖（單位：m），等腰三角形abc以2公尺/秒的速度沿直線l向正方形移動，直到ab與cd重合．設x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2．
（1）寫出y與x的關係式；
（2）當x=2，3.5時，y分別是多少？
（3）當重疊部分的面積是正方形面積的一半時，
三角形移動了多長時間？求拋物線頂點座標、
對稱軸.
例5、已知拋物線y=x2+x-．
（1）用配方法求它的頂點座標和對稱軸．
（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為a、b，求線段ab的長．
【點評】本題（1）是對二次函式的「基本方法」的考查，第（2）問主要考查二次函式與一元二次方程的關係．
例6.已知：二次函式y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經過點p(4，10)，交x軸於，兩點，交y軸負半軸於c點，且滿足3ao=ob．
(1)求二次函式的解析式；(2)在二次函式的圖象上是否存在點m，使銳角∠mco>∠aco?若存在，請你求出m點的橫座標的取值範圍；若不存在，請你說明理由．
(1)解：如圖∵拋物線交x軸於點a(x1，0)，b(x2，o)，
則x1·x2=3<0，又∵x1 ∴x2>o，x1 ∴x1·x2=-3x12=-3．∴x12=1.
x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3．
∴點a(-1，o)，p(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3
∴．二次函式的解析式為y-2x2-4x-6．
(2)存在點m使∠mc0<∠aco．
(2)解：點a關於y軸的對稱點a』(1，o)，
∴直線a，c解析式為y=6x-6直線a'c與拋物線交點為(0，-6)，(5，24)．
∴符合題意的x的範圍為-1當點m的橫座標滿足-1∠aco．
例7、 「已知函式的圖象經過點a（c，－2），
求證：這個二次函式圖象的對稱軸是x=3。」題目中的矩形框部分是一段被墨水汙染了無法辨認的文字。
（1）根據已知和結論中現有的資訊，你能否求出題中的二次函式解析式？若能，請寫出求解過程，並畫出二次函式圖象；若不能，請說明理由。
（2）請你根據已有的資訊，在原題中的矩形框中，填加乙個適當的條件，把原題補充完整。
點評： 對於第（1）小題，要根據已知和結論中現有資訊求出題中的二次函式解析式，就要把原來的結論「函式圖象的對稱軸是x=3」當作已知來用，再結合條件「圖象經過點a（c，－2）」，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數，所以能夠求出題中的二次函式解析式。對於第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函式解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。
而從不同的角度考慮可以新增出不同的條件，可以考慮再給圖象上的乙個任意點的座標，可以給出頂點的座標或與座標軸的乙個交點的座標等。
[解答] （1）根據的圖象經過點a（c，－2），圖象的對稱軸是x=3，得
解得所以所求二次函式解析式為圖象如圖所示。
（2）在解析式中令y=0，得，解得
所以「拋物線與x軸的乙個交點的座標是（3+」或「拋物線與x軸的乙個交點的座標是
令x=3代入解析式，得
所以拋物線的頂點座標為
所以也可以填拋物線的頂點座標為等等。
函式主要關注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函式的具體特徵；借助多種現實背景理解函式；將函式視為「變化過程中變數之間關係」的數學模型；滲透函式的思想；關注函式與相關知識的聯絡。
用二次函式解決最值問題
例1已知邊長為4的正方形截去乙個角後成為五邊形abcde（如圖），其中af=2，bf=1．試在ab上求一點p，使矩形pndm有最大面積．
【評析】本題是一道代數幾何綜合題，把相似三角形與二次函式的知識有機的結合在一起，能很好考查學生的綜合應用能力．同時，也給學生探索解題思路留下了思維空間．
例2 某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關係如下表：
若日銷售量y是銷售價x的一次函式．
（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函式關係式；
（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？
【解析】（1）設此一次函式表示式為y=kx+b．則解得k=-1，b=40，即一次函式表示式為y=-x+40．
（2）設每件產品的銷售價應定為x元，所獲銷售利潤為w元
w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．
產品的銷售價應定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元．
【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區別，主要有兩點：（1）設未知數在「當某某為何值時，什麼最大（或最小、最省）」的設問中，「某某」要設為自變數，「什麼」要設為函式；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
例6.你知道嗎?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5 m處．繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂．已知學生丙的身高是1．5 m，則學生丁的身高為(建立的平面直角座標系如右圖所示)
( )
a．1．5 m b．1．625 m
c．1．66 m d．1．67 m
分析：本題考查二次函式的應用
答案：b
二次函式專題講解
一 知識綜述 1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式用配方法可化成 的形式，其中。3.求拋物線的頂點 對稱軸的方法 1 公式法 頂點是，對稱軸是直線.2 配方法 運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為 對稱軸是直線.4.二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式...
二次函式分類經典題型
二次函式針對性練習 二次函式的對稱軸 頂點 最值 記憶 頂點式 y a x h 2 k，則對稱軸為頂點座標為最值為 一般式 y ax2 bx c，則對稱軸為頂點座標為最值為 1 拋物線y 2x2 4x m2 m經過座標原點，則m的值為 2 拋物y x2 bx c線的頂點座標為 1，3 則b c 3 ...
初中二次函式知識點及經典題型
二次函式的解析式 二次函式的解析式有三種形式 1 一般一般式 2 兩根當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根和存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函式可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。3 頂點式 知識點八 二次函式的最值 如果自變數的取值範圍...