二次函式知識點
一、二次函式概念：
(1)一般地,形如（是常數,）的函式,叫做二次函式.
注意：和一元二次方程類似,二次項係數,而可以為零．二次函式的定義域是全體實數．
(2)二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：（, ,為常數,）;
2. 頂點式：（, ,為常數,）;
3. 兩根式：（, ,是拋物線與軸兩交點的橫座標）.
二、二次函式的基本形式
1. 二次函式
2. 二次函式基本形式：的性質：
a 的絕對值越大,拋物線的開口越小.
3.的性質：
上加下減.
4.的性質
三、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式,確定其頂點座標;
⑵ 保持拋物線的形狀不變,將其頂點平移到處,具體平移方法如下：
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移,負左移;值正上移,負下移」．
概括成八個字「左加右減,上加下減」．
四、二次函式的性質
1. 與軸的交點.決定了拋物線與軸交點的位置．
(1) 當時,拋物線與軸的交點在軸上方,即拋物線與軸交點的縱座標為正;
(2) 當時,拋物線與軸的交點為座標原點,即拋物線與軸交點的縱座標為;
(3) 當時,拋物線與軸的交點在軸下方,即拋物線與軸交點的縱座標為負．
2. 與軸的交點個數.
(1) 當時, 圖象與軸交於兩點,其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離
.(2) 當時,圖象與軸只有乙個交點;
(3) 當時,圖象與軸沒有交點.
當時,圖象落在軸的上方,無論為任何實數,都有;
當時,圖象落在軸的下方,無論為任何實數,都有．
五、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數
二次函式中,作為二次項係數,顯然．
⑴ 當時,拋物線開口向上,的值越大,開口越小,反之的值越小,開口越大;
⑵ 當時,拋物線開口向下,的值越小,開口越小,反之的值越大,開口越大．
總結起來,決定了拋物線開口的大小和方向,的正負決定開口方向,的大小決定開口的大小．
2. 一次項係數
的符號的判定：對稱軸在軸左邊當且僅當, 在軸的右側當且僅當, 概括的說就是「左同右異」
總結： 3. 常數項.總結起來,決定了拋物線與軸交點的位置．
六、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點式表達
1. 關於軸對稱
關於軸對稱後,得到的解析式是;
關於軸對稱後,得到的解析式是;
2. 關於軸對稱
關於軸對稱後,得到的解析式是;
關於軸對稱後,得到的解析式是;
3. 關於原點對稱
關於原點對稱後,得到的解析式是;
關於原點對稱後,得到的解析式是;
4. 關於頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
關於頂點對稱後,得到的解析式是;
關於頂點對稱後,得到的解析式是．
5. 關於點對稱
關於點對稱後,得到的解析式是
根據對稱的性質,顯然無論作何種對稱變換,拋物線的形狀一定不會發生變化,因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表示式時,可以依據題意或方便運算的原則,選擇合適的形式,習慣上是先確定原拋物線（或表示式已知的拋物線）的頂點座標及開口方向,再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向,然後再寫出其對稱拋物線的表示式．
七、二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標,需轉化為一元二次方程;
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式;
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中, ,的符號,或由二次函式中, ,的符號判斷圖象的位置,要數形結合;
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱,可利用這一性質,求和已知一點對稱的點座標,或已知與軸的乙個交點座標,可由對稱性求出另乙個交點座標.
⑸ 與二次函式有關的還有二次三項式,二次三項式本身就是所含字母的
八、函式的應用
二次函式應用
二次函式考查重點與常見題型
1． 考查二次函式的定義、性質,有關試題常出現在選擇題中,如：
例1. 已知以為自變數的二次函式的影象經過原點, 則的值是
練習1. 當n＝______，m＝______時，函式y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的圖象是拋物線，且其頂點在原點，此拋物線的開口________.
練習2.已知二次函式y=x2－2ax+2a+3，當a= 時，該函式y的最小值為0.
練習3.已知二次函式y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值為0，則m
練習4．若拋物線y＝ax2－6x經過點(2，0)，則拋物線頂點到座標原點的距離為( )
ab. c. d.
2.綜合考查正比例、反比例、一次函式、二次函式的影象,習題的特點是在同一直角座標系內考查兩個函式的影象,試題型別為選擇題,如：
例2.如圖,如果函式的影象在第
一、二、三象限內,那麼函式的影象大致是（ ）
yabcd
練習5. 已知二次函式y＝ax2＋bx＋c經過
一、三、四象限（不經過原點和第二象限）則直線y＝ax＋bc不經過（ ）
a． 第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
3.考查用待定係數法求二次函式的解析式,有關習題出現的頻率很高,習題型別有中檔解答題和選拔性的綜合題,如：
例3.已知一條拋物線經過(0,3),(4,6)兩點,對稱軸為,求這條拋物線的解析式.
練習6．根據下列條件求關於x的二次函式的解析式
（1） 當x=3時，y最小值=－1，且圖象過（0，7）
（2） 圖象過點（0，－2）（1，2）且對稱軸為直線x=
（3） 圖象經過（0，1）（1，0）（3，0）
（4） 當x=1時，y=0; x=0時,y= －2，x=2 時，y=3
（5） 拋物線頂點座標為（－1，－2）且通過點（1，10）
4.考查用配方法求拋物線的頂點座標、對稱軸、二次函式的極值,有關試題為解答題,如：
例4.已知拋物線（a≠0）與x軸的兩個交點的橫座標是－1、3,與y軸交點的縱座標是－.
（1） 確定拋物線的解析式;（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點座標.
練習7.試說明函式y= (x－3)2 的圖象特點及性質（開口、對稱軸、頂點座標、增減性、最值）.
【例題經典】
由拋物線的位置確定係數的符號
例1．（1）二次函式的影象如圖1,則點在（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
（2）已知二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示,則下列結論：①a、b同號;②當x=1和x=3時,函式值相等;③4a+b=0;④當y=-2時,x的值只能取0.其中正確的個數是（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
12)例2.已知二次函式y=ax2+bx+c的圖象與x軸交於點(-2,o)、(x1,0),且1o;③4a+co,其中正確結論的個數為( )
a 1個 b. 2個c. 3個d．4個
例3. 當b<0是一次函式y=ax+b與二次函式y=ax2+bx+c在同一座標系內的圖象可能是（ ）
會用待定係數法求二次函式解析式
例3.已知：關於x的一元二次方程ax2+bx+c=3的乙個根為x=-2,且二次函式y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2,則拋物線的頂點座標為( )
a(2,-3) b.(2,1) c(2,3) d．(3,2)
例4．（2023年煙台市）如圖（單位：m）,等腰三角形abc以2公尺/秒的速度沿直線l向正方形移動,直到ab與cd重合．設x秒時,三角形與正方形重疊部分的面積為ym2．
（1）寫出y與x的關係式;
（2）當x=2,3.5時,y分別是多少？
（3）當重疊部分的面積是正方形面積的一半時,三角形移動了多長時間？求拋物線頂點座標、
對稱軸.
例5．已知拋物線y=x2+x-．
（1）用配方法求它的頂點座標和對稱軸．
（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為a、b,求線段ab的長．
例6． 「已知函式的圖象經過點a（c,－2）.
求證：這個二次函式圖象的對稱軸是x=3.」題目中的矩形框部分是一段被墨水汙染了無法辨認的文字.
（1）根據已知和結論中現有的資訊,你能否求出題中的二次函式解析式？若能,請寫出求解過程,並畫出二次函式圖象;若不能,請說明理由.
（2）請你根據已有的資訊,在原題中的矩形框中,填加乙個適當的條件,把原題補充完整.
用二次函式解決最值問題
例1.已知邊長為4的正方形截去乙個角後成為五邊形abcde（如圖）,其中af=2,bf=1．試在ab上求一點p,使矩形pndm有最大面積．
例2. 某產品每件成本10元,試銷階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關係如下表：
若日銷售量y是銷售價x的一次函式．
二次函式題型分類總結
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二次函式提高題型總結
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