---福囚
第1頁二次函式322++=x x y 的再認識
【基本題型】在平面直角座標系xoy 中
a .求它的對稱軸l 的方程和頂點p 的座標；
b .求它與座標軸的交點座標（其中a、b 為拋物線與橫軸的交點，
且點b 在點a 的右側，c 為拋物線與縱軸的交點）；c .當x時，
0>y ；當x時，0d .當x______時，y 隨x 的增大而增大；當x______時，y 隨x 的
增大而減小；e .在l 上找一點d，使得cd ad +最小，求d 點的座標；
f .求acp s ；
g .在直線bc 上方的拋物線上是否存在一點q，使得bcq s 最大，
若存在，求出點q 的座標；若不存在，請說明理由；h .在拋物線上是否存在點m，使得bcm
bcps s =，若存在，求
出點m 的座標；若不存在，請說明理由；
i .在座標軸上是否存在點n，使得pbn 是直角三角形，若存
在，求出點n 的座標；若不存在，請說明理由；
j .在l 上是否存在點e，使得ace 是等腰三角形，若存在，求
出點e 的座標；若不存在，請說明理由；
k .若f 是l 上乙個動點，在拋物線上找一點g，使得a、c、f、g
四點構成平行四邊形，求出點g 的座標；
l .在拋物線上是否存在點h，使得a、c、h、p 四點構成梯形，若
存在，求出點h 的座標；若不存在，請說明理由；
m .點j 由點c 出發沿cb 方向向點b 作勻速直線運動，速度為每
秒2個單位長度，點k 由b 出發沿bo （o 為座標原點）方向向點o 作勻速直線運動，速度為每秒1個單位長度，其中乙個點到達終點時，另外乙個點也停止運動，連線jk ，若設運動時間為t ，當t 為何值時，bjk 與boc 相似；n .在m 的條件下，設bjk 的面積為s ，求s 與t 之間的函式關
系式，並求出s 的最大值；
o .將直線ap 向上平移m 個單位長度後，得到的直線'
l 與拋物線只有乙個公共點l ，求m 的值及點l 的座標；
p .將拋物線繞o 點旋轉°
180後，所得的拋物線與'
l 的交點座標；
【解題思路】
a .配方法：
公式法：b .函式與方程的聯絡
c.如何畫出二次函式的圖象以及對圖象的認識
d.深刻理解變數之間的聯絡與因果關係
e.線段和最短的問題
f.座標系中的不規則三角形面積的求解拋物線上三個點一定可以構成三角形嗎？
g.單動點引起的動態三角形的面積表示方法
h.面積相等問題的求解方法
i.直角三角形的判定方法
j.等腰三角形的判定方法
k.平行四邊形的判定方法
l.梯形的判定方法
m.動態三角形的相似問題
n.雙動點引起的動態三角形的面積表示方法
o.拋物線的平移
p.拋物線的旋轉
【同步練習】
變練1:求二次函式
32++=x x y 的頂點座標
變練2:拋物線923
212=
x x y 與x 軸交於a 、b 兩點，與y 軸交於點c ，連線bc 、ac ，求ab 和oc 的長；
變練3:當x時，
0>y ；當x時，0當x______時，y 隨x 的增大而增大；當x______時，y 隨x 的增
大而減小；
變練4:在對稱軸上找一點m，使得
mcma 最大，求m 點的
座標；變練5:設拋物線的頂點為p，求bcp s ；
變練6:如圖，點e 從點a 出發，沿x 軸向點b 運動（點e 與點a 、b 不重合），過點e 作直線l 平行bc ，交ac 於點d ．設ae 的長為m ，△ade 的面積為s ，求s 關於m 的函式關係式，並寫出自變數m
的取值範圍；
變練7:連線ce ，求△cde 面積的最大值；此時，求出以點e 為圓心，與bc 相切的圓的面積（結果保留π）．
變練8：如圖，在平面直角座標系xoy 中，△abc 的a、b 兩個頂
點在x 軸上，頂點c 在y 軸的負半軸上．已知
5:1:=ob oa ，
oboc =，△abc 的面積
15=abc s ，拋物線
)0(2≠++=a c bx ax y 經過a、b、c 三點。在拋物線上是否
存在異於b、c 的點m，使△mbc 中bc 邊上的高為27？若存在，
求出點m 的座標；若不存在，請說明理由．
變練9:如圖，在平面直角座標系中，點a 的座標為（m，m），點b
的座標為（n，﹣n），拋物線經過a、o、b 三點，連線oa、ob、
ab，線段ab 交y 軸於點c．已知實數m、n（m＜n）分別是方
程0322
=x x 的兩根．（1）求拋物線的解析式；
（2）若點p 為線段ob 上的乙個動點（不與點o、b 重合），直線
pc 與拋物線交於d、e 兩點（點d 在y 軸右側），連線od、bd．①當△opc 為等腰三角形時，求點p 的座標；②求△bod 面積的最大值，並寫出此時點d
的座標．
變練10:以邊長為
2的正方形abcd 的對角線所在直線建立平
面直角座標系，拋物線c bx x y ++=2經過點b 且與直線ab
只有乙個公共點．
（1）求直線ab 的解析式；（2）求拋物線
c bx x y ++=2的解析式；
（3）若點p 為拋物線圖象上x 軸上方一點，問是否存在這樣的點p ，使21=
pad s ？若存在，求出點p 的座標；若不存在，請說
明理由．
變練11:如圖，在等腰三角形abc 中，ab=ac ，以底邊bc 的垂直平分線和bc 所在的直線建立平面直角座標系，拋物線427
212++=x x y 經過a 、b 兩點．
（1）寫出點a 、點b 的座標；
（2）若一條與y 軸重合的直線l 以每秒2個單位長度的速度向右平移，分別交線段oa 、ca 和拋物線於點e 、m 和點p ，連線pa 、pb ．設直線l 移動的時間為t （0＜t ＜4）秒，求四邊形pbca 的面積s （面積單位）與t （秒）的函式關係式，並求出四邊形pbca 的最大面積；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點p ，使得△pam 是直角三角形？若存在，請求出點p 的座標；若不存在，請說明
理由變練12:如圖，在矩形oabc 中，ao=10，ab=8，沿直線cd 摺疊矩形oabc 的一邊bc ，使點b 落在oa 邊上的點e 處．分別以oc ，oa 所在的直線為x 軸，y 軸建立平面直角座標系，拋物線
c bx ax y ++=2經過o ，d ，c 三點．
（1）求ad 的長及拋物線的解析式；（2）一動點p 從點e 出發，沿ec 以每秒2個單位長的速度向點c 運動，同時動點q 從點c 出發，沿co 以每秒1個單位長的速度向點o 運動，當點p 運動到點c 時，兩點同時停止運動．設運動時間為t 秒，當t 為何值時，以p 、q 、c 為頂點的三角形與△ade 相似？
（3）點n 在拋物線對稱軸上，點m 在拋物線上，是否存在這樣的點m 與點n ，使以m ，n ，c ，e 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點m 與點n 的座標（不寫求解過程）；
若不存在，請說明理由．
變練13:如圖，把兩個全等的rt△aob 和rt△cod 分別置於平面
直角座標系中，使直角邊ob、od 在x 軸上．已知點a （1，2），過a、c 兩點的直線分別交x 軸、y 軸於點e、f．拋物線
c bx ax y ++=2經過o、a、c 三點．
（1）求該拋物線的函式解析式；
（2）點p 為線段oc 上乙個動點，過點p 作y 軸的平行線交拋物
線於點m，交x 軸於點n，問是否存在這樣的點p，使得四邊形abpm 為等腰梯形？若存在，求出此時點p 的座標；若不存
在，請說明理由．
二次函式題型分類總結
二次函式的定義 考點 二次函式的二次項係數不為0，且二次函式的表示式必須為整式 1 下列函式中，是二次函式的是 y x2 4x 1 y 2x2y 2x2 4x y 3x y 2x 1 y mx2 nx p y 錯誤！未定義書籤。y 5x。2 在一定條件下，若物體運動的路程s 公尺 與時間t 秒 的關...
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