一、定義及表示式
定義：一般地，形如的函式叫做x的二次函式；
表示式：
一般式：
頂點式頂點座標為（h，k）
交點式其中x1，x2是方程的兩個實根；
對稱式其中x1，x2是兩個對稱點的橫座標，b是對稱點的縱座標；
二、二次函式的圖象和性質：
圖象：二次函式的圖象是一條拋物線；
a的正負拋物線的開口方向；
a的絕對值開口的大小；
a、b的符號對稱軸的位置，口訣是左同右異；
c與y軸交點位置；
△=b2-4ac與x軸交點個數．
性質：對稱性：關於對稱軸對稱，對稱軸是直線
增減性：需要注意a的正負以及在對稱軸的哪一側；
1 a＞0時，在對稱軸左側，y隨x的增大而減小，在對稱軸右側，y隨x的增大而增大；
2 當a＜0時，在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸右側，y隨x的增大而減小；
三、平移變換與對稱變換：
平移變換：先化成頂點式，再按照「左加右減、上加下減」的方法進行；
對稱變換：
關於x軸對稱關於x軸對稱之後得到的圖象解析式是
口訣：x不變，y變為原來的相反數
關於y軸對稱關於y軸對稱之後得到的圖象解析式是
口訣：y不變，x變為原來的相反數
關於原點對稱關於原點對稱之後得到的圖象解析式是
口訣：x、y都變為原來的相反數
四、二次函式與一元二次方程：
△=b2-4ac>0 , 直線與x軸有兩個交點，方程有兩個不相等的實數根。
△=b2-4ac=0 ,直線與x軸只有乙個交點，方程有兩個相等的實數根。
△=b2-4ac<0 , 直線與x軸無交點，方程無解。
板塊二、精講精練
一、定義、表示式
1． 已知二次函式的圖象經過原點及點（，），且圖象與x軸的另一交點到原點的距離為1，則該二次函式的解析式為
二、拋物線的變換
2． 將拋物線y=x2－2x向上平移3個單位，再向右平移4個單位等到的拋物線是_______．
3． 在平面直角座標系中，先將拋物線關於軸作軸對稱變換，再將所得的拋物線關於軸作軸對稱變換，那麼經兩次變換後所得的新拋物線的解析式為（ ）
a． b． c． d．
4． 將拋物線繞它的頂點旋轉180°，所得拋物線的解析式是（ ）．
a． b．
c． d．
三、拋物線性質靈活運用：
5． 函式取得最大值時， _____
6． 如圖，拋物線y＝－x2+2x+m（m＜0）與x軸相交於點a（x1，0）、b（x2，0），點a在點b的左側．當x＝x2－2時，y______0（填「＞」「＝」或「＜」號）．
7． 已知二次函式，當自變數x取m時，對應的函式值大於0，當自變數x分別取m-1，m+1時對應的函式值、，則，滿足（ ）
a．>0，>0 b．<0，<0 c．<0，>0 d．>0，<0
四、數形結合
8． 設一元二次方程的兩根分別為，，且，則，滿足（ ）
a． b． c． d．且
9． 已知一元二次方程的兩個實數根、滿足和，那麼二次函式的圖象有可能是（ ）
10． 已知函式，則使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（ ）
a．0 b．1 c．2 d．3
11． 如圖，是二次函式y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為直線x=1，若其與x軸一交點為a（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是
第11題第13題第14題
12． 不論x取何值，拋物線y=－x2+6x+c的函式值總為負數，則c的取值範圍為_______．
13． 如圖，拋物線y = x2 + 1與雙曲線y =的交點a的橫座標是1，則關於x的不等式+ x2 + 1 < 0的解集是( )
a．x> 1b．x<1 c．0 14． 如圖，在同一平面直角座標系中，二次函式的圖象與x軸分別交於a(-1，0)，b(3，0)兩點，與y軸交於點c(0，-3)，一次函式的圖象與拋物線交於b，c兩點．
（1）當x時，一次函式值等於二次函式值；
（2）當時，一次函式值大於二次函式值．
（3）當________時，兩函式的函式值之積小於0．
五、二次函式最值及增減性
15． 公路上行駛的汽車急剎車時的行駛路程s（m）與時間t（s）的函式關係式為s=20t-5t2，當遇到緊急情況時，司機急剎車，但由於慣性汽車要滑行______m才能停下來．
16． 已知實數，滿足，則的最大值為
17． y=x2＋(1－a)x＋1是關於x的二次函式，當x的取值範圍是1≤x≤3時，y在x＝1時取得最大值，則實數a的取值範圍是（ ）
a．a=5b．a ≥ 5c．a=3d．a ≥ 3
18． 若a（），b（），c（）為二次函式的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關係是（ ）
abc． d．
19． 已知二次函式，當時，函式值隨的增大而減小，則的取值範圍
六、辨析正誤
20． 二次函式的圖象如圖所示，則一次函式y=bx+b2-4ac與反比例函式在同一座標系內的圖象大致為（ ）
21． 已知二次函式的圖象與軸交於點、，且，與軸的正半軸的交點在的下方．下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數是個．
22． 定義為函式的特徵數， 下面給出特徵數為 [2m，1 – m ， –1– m] 的函式的一些結論：其中正確的結論有
①當m = – 3時，函式圖象的頂點座標是(，)；
②當m> 0時，函式圖象截x軸所得的線段長度大於；
③當m< 0時，函式在x>時，y隨x的增大而減小；
④當m 0時，函式圖象經過同乙個點．
23． 如圖，等腰梯形abcd的底邊ad在x軸上，頂點c在y軸正半軸是，b（4，2），一次函式的圖象平分它的面積，關於x的函式的圖象與座標軸只有兩個交點，求m的值．
24． 已知拋物線y=ax2+2x+c的圖象與x軸交於點a（3，0）和點c，與y軸交於點b（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點d，使得點d到點b、c的距離之和最小，並求出點d的座標；
（3）在第一象限的拋物線上，是否存在一點p，使得△abp的面積最大？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
25． 如圖，拋物線y=ax2-x+2與x軸交於點a和點b，與y軸交於點c，已知點b的座標為（3，0）．
（1）求a的值和拋物線的頂點座標；
（2）分別連線ac、bc．在x軸下方的拋物線上求一點m，使△amc與△abc的面積相等；
（3）設n是拋物線對稱軸上的乙個動點，d=|an-cn|．**：是否存在一點n，使d的值最大？若存在，請直接寫出點n的座標和d的最大值；若不存在，請簡單說明理由．
26． 如圖，拋物線y=ax2-5ax+4經過△abc的三個頂點，已知bc∥x軸，點a在x軸上，點c在y軸上，且ac=bc。
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）寫出a，b，c三點的座標並求拋物線的解析式；
（3）**：若點p是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點，是否存在△pab是等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點p座標；不存在，請說明理由。
二次函式提高題型總結
福囚 第1頁二次函式322 x x y 的再認識 基本題型 在平面直角座標系xoy 中 a 求它的對稱軸l 的方程和頂點p 的座標 b 求它與座標軸的交點座標 其中a b 為拋物線與橫軸的交點，且點b 在點a 的右側，c 為拋物線與縱軸的交點 c 當x時，0 y 當x時，0d 當x 時，y 隨x 的...
15 二次函式專項提高
二次函式 一 填空 化成y a x m k的形式是其頂點座標是 當 時，有最值是 2.若某種商品的利潤 元 與售價 元 的函式關係式是，把它化成 頂點式為當售價元時，商品的利潤有最大值 元。3.若二次函式y 3x2 mx 3的對稱軸是直線x 1，則m 4.已知函式y 4x2 mx 5，當x 2時,y...
二次函式問題提高練習系列二
例題2 如圖，在平面直角座標系xoy中，矩形oabc的邊長oa oc分別為12cm 6cm，點a c分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y ax2 bx c經過點a b，且18a c 0 1 求拋物線的解析式 2 如果點p由點a開始沿ab邊以1cm s的速度向終點b移動，同時點q由點b開始沿b...