第27章二次函式
1．二次函式
形如(a,b,c是常數，a≠0)的函式，叫做x的二次函式。它的影象是一條拋物線。
（1）下列函式中，是二次函式的有
（2）當k為何值時，函式為二次函式？
（3）已知正方形的面積為，周長為x（cm）。
①請寫出y與x的函式關係式； ②判斷y是否為x的二次函式。
（1）對於任意實數m，下列函式一定是二次函式的是（ ）
a． b．
c． d．
（2）已知函式是二次函式，求m的值。
（3）已知乙個圓柱的高為27，底面半徑為x，求圓柱的體積y與x的函式關係式．若圓柱的底面半徑x為3，求此時的y。
（1）在下列函式關係中，可以看作二次函式（）模型的是（ ）
a 在一定的距離內汽車的行駛速度與行駛時間的關係
b 我國人口年自然增長率為1%，這樣我國人口總數隨年份的變化關係
c 豎直向上發射的訊號彈，從發射到落回地面，訊號彈的高度與時間的關係（不計空氣阻力）
d 圓的周長與圓的半徑之間的關係
（2）如圖，有長為30m的籬笆，一面利用牆(牆的最大可用長度為10m)，圍成中間隔有一道籬笆(平行於ab)的矩形花圃．設花圃的一邊ab為xm，面積為ym2．
① 求y與x的函式關係式。
②如果要圍成面積為63m2的花圃，ab的長是多少？
2．的影象與性質
（1）對稱軸是y軸，頂點座標是（0,0）。
（2）當a>0時，影象開口向上，函式有最小值。當x<0時，y隨x的增大而減小，當x>0時，y隨x的增大而增大。
當a0時，y隨x的增大而減小。
（1）在同一直角座標系中，畫出下列函式的圖象，並回答問題。
拋物線的對稱軸是開口頂點座標是當x曲線自左向右下降；當x ，曲線自左向右上公升。
拋物線的對稱軸是開口頂點座標是當x曲線自左向右下降；當x ，曲線自左向右上公升。
（2）已知是二次函式，且當時，y隨x的增大而增大．
① 求k的值； ② 求頂點座標和對稱軸。
（3）已知正方形周長為ccm，面積為s cm2．
①求s和c之間的函式關係式，並畫出圖象；
②根據圖象，求出s=1 cm2時，正方形的周長；
③根據圖象，求出c取何值時，s≥4 cm2．。
（1）拋物線，當x= 時，y有最值，是 。
（2）已知函式是二次函式，它的圖象開口 ，當x 時，y隨x的增大而增大。
（3）已知等邊三角形的邊長為2x，請將此三角形的面積s表示成x的函式，並畫出圖象。
（1）已知拋物線經過點（1，3），求當y=9時，x的值。
（2）二次函式與直線交於點p（1，b）．
① 求a、b的值；
② 寫出二次函式的關係式，並指出x取何值時，該函式的y隨x的增大而減小。
（3）乙個函式的圖象是以原點為頂點，y軸為對稱軸的拋物線，且過m（-2，2）．
① 求出這個函式的關係式並畫出函式圖象；
② 寫出拋物線上與點m關於y軸對稱的點n的座標，並求出△mon的面積．
3．的影象與性質
（1）由向上（或向下）平移k個單位得到的。
（2）對稱軸是y軸，頂點座標是（0,k）。
（3）當a>0時，影象開口向上，函式有最小值，即當x=0時，y=k。當x<0時，y隨x的增大而減小，當x>0時，y隨x的增大而增大。
當a0時，y隨x的增大而減小。
（1）拋物線的開口 ，對稱軸是 ，頂點座標是它可以看作是由拋物線向平移個單位得到的。
（2）函式，當x 時，函式值y隨x的增大而減小．當x 時，函式取得最值，最值y= 。
（3）一條拋物線的開口方向、對稱軸與相同，頂點縱座標是-2，且拋物線經過點（1，1），求這條拋物線的函式關係式。
（1）拋物線是由拋物線向平移個單位得到的。
（2）若二次函式的圖象經過點（-2，10），求a的值．這個函式有最大還是最小值？是多少？
（3）在同一直角座標系中與的圖象的大致位置是( )
（1）已知二次函式，當k為何值時，此二次函式以y軸為對稱軸？寫出其函式關係式。
（2）將拋物線y=x2 +1向下平移2個單位，則此時拋物線的解析式是
（3）某涵洞時拋物線，它的截面如圖所示，現測得水面寬ab=1.6公尺，涵洞頂點o到水面的距離為2.4公尺，求涵洞所在拋物線的函式解析式。
4．的影象與性質
（1）由向左（或向右）平移h個單位得到的。
（2）對稱軸是x=h，頂點座標是（h，0）。
（3）當a>0時，影象開口向上，函式有最小值，即當x=h時，y=0。當xh時，y隨x的增大而增大。
當ah時，y隨x的增大而減小。
（1）對於拋物線，頂點座標是 ，對稱軸是 ，當x 時，函式值y隨x的增大而減小；當x 時，函式值y隨x的增大而增大；當x 時，函式取得最值，最值y它的影象是由拋物線向平移個單位得到的，如果要得到拋物線，應將拋物線向平移個單位。
（2）將拋物線向左平移後所得新拋物線的頂點橫座標為 -2，且新拋物線經過點
（1，3），求的值。
（1）頂點為（-6,0）開口向下，形狀與函式的影象相同的拋物線所對應的函式是（ ）
ab.cd.
（2）在平面直角座標系中，將二次函式的影象向左平移2個單位，所得影象對應的解析式為
（1）將拋物線y1＝2x2向右平移2個單位，得到拋物線y2的圖象，則y2
（2）拋物線的開口 ，對稱軸是 ，頂點座標是它可以看作是由拋物線向平移個單位得到的。
5．（a0）的影象與性質
（1）（a0）由（a0）先向右（或向左）平移h個單位，再向上（或向下）平移k個單位得到的。
（2）對稱軸是x=h，頂點座標是（h，k）。
（3）當a>0時，影象開口向上，函式有最小值，即當x=h時，y=k。當xh時，y隨x的增大而增大。
當ah時，y隨x的增大而減小。
(4)二次函式的圖象的上下平移，只影響二次函式+k（a0）中k的值；左右平移，只影響h的值，拋物線的形狀不變，所以平移時，可根據頂點座標的改變，確定平移前、後的函式關係式及平移的路徑．此外，圖象的平移與平移的順序無關。
（1）將拋物線如何平移可得到拋物線（ ）
a．向左平移4個單位，再向上平移1個單位
b．向左平移4個單位，再向下平移1個單位
c．向右平移4個單位，再向上平移1個單位
d．向右平移4個單位，再向下平移1個單位
（2）y=-2(x-1)＋5 的圖象開口向 ，頂點座標為對稱軸是當x＞1時，y值隨著x值的增大而 。
（3）把拋物線向左平移3個單位，再向下平移4個單位，所得的拋物線的函式關係式為
（1）二次函式，無論k取什麼實數，影象頂點必在（ ）
a 直線y=－x上 b x軸上
c 直線y=x上 d y軸上
（2）將拋物線向上平移2個單位，再向右平移1個單位後，得到的拋物線的解析式為新函式的對稱軸是頂點座標是 。
（3）二次函式y=(x－1)2－2的影象的對稱軸是直線
（1）在同乙個座標系中，畫出函式和函式的影象，並回答下列問題：①分別指出這兩條拋物線的對稱軸和頂點座標；②拋物線經過怎樣的平移可得到拋物線？
6．通過配方把二次函式化成+k（a0）的形式，即
（1）對稱軸，頂點座標（）
（2）當a>0時，影象開口向上，函式有最小值，即當x=時，y=。當x《時，y隨x的增大而減小，當x>時，y隨x的增大而增大。
當a時，y隨x的增大而減小。
（1）利用配方法，把下列函式寫成+k的形式，並寫出它們的圖象的開口方向、對稱軸和頂點座標．
① ②
（2）拋物線的頂點是，則= ，c
（3）二次函式的圖象的對稱軸是頂點座標是
（1）若一次函式y=(m+1)x+m的影象經過第
一、三、四象限，則函式（ ）
a 有最大值 b 有最大值
c有最小值d有最小值
（2）已知拋物線的頂點在座標軸上，求的值。
（1）拋物線的頂點橫座標是-2，則= 。
（2）當時，拋物線的頂點在第象限。
（3）已知拋物線的頂點a在直線上，求拋物線的頂點座標．
7．最大值或最小值的求法，第一步確定a的符號，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求頂點，頂點的縱座標即為對應的最大值或最小值。
解決實際問題時，應先分析問題中的數量關係，列出函式關係式，再研究所得的函式，得出結果。
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