一、典例精析
考點一：二次函式與圓
3．（2011邵陽）如圖所示，在平面直角座標系oxy中，已知點a(－，0)，點c(0，3)，點b是x軸上一點(位於點a的右側)，以ab為直徑的圓恰好經過點c．
（1）求∠acb的度數；
（2）已知拋物線y＝ax2＋bx＋3經過a、b兩點，求拋物線的解析式；
（3）線段bc上是否存在點d，使△bod為等腰三角形．若存在，則求出所有符合條件的點d的座標；若不存在，請說明理由．
解： (1) ∵以ab為直徑的圓恰好經過點c ∴∠acb=
(2) ∵△aoc∽△abc ∴
∵a(－，0)，點c(0，3)，∴
∴ ∴ ∴b(4,0)
把 a、b、c三點座標代入得
(3) ①od=ob , d在ob 的中垂線上，過d作dh⊥ob,垂足是h 則h 是ob 中點。
dh= ∴d
② bd=bo 過d作dg⊥ob,垂足是g ∴og:ob=cd:cb dg:oc=1:5
∴ og:4=1:5 dg:3=1:5 ∴og= dg= ∴d(,)
2．（2010昆明）在平面直角座標系中，拋物線經過o（0，0）、a（4，0）、b（3，）三點.
（1）求此拋物線的解析式；
（2）以oa的中點m為圓心，om長為半徑作⊙m，在（1）中的拋物線上是否存在這樣的點p，過點p作⊙m的切線l ，且l與x軸的夾角為30°，若存在，請求出此時點p的座標；若不存在，請說明理由.（注意：本題中的結果可保留根號）
解：（1）解析式為3分
（2）存在
拋物線的頂點座標是，作拋物線和⊙m（如圖），
設滿足條件的切線 l 與 x 軸交於點b，與⊙m相切於點c
連線mc，過c作cd⊥ x 軸於d
∵ mc = om = 2, ∠cbm = 30°, cm⊥bc
∴∠bcm = 90° ，∠bmc = 60° ，bm = 2cm = 4 ,
∴b (-2, 0
在rt△cdm中，∠dcm = ∠cdm - ∠cmd = 30°
∴dm = 1, cd
∴ c (1,)
設切線 l 的解析式為:，點b、c在 l 上，可得：
解得：∴切線bc的解析式為：
∵點p為拋物線與切線的交點
由解得∴點p的座標為
∵ 拋物線的對稱軸是直線
此拋物線、⊙m都與直線成軸對稱圖形
於是作切線 l 關於直線的對稱直線 l′(如圖)
得到b、c關於直線的對稱點b1、c1
l′滿足題中要求，由對稱性，得到p1、p2關於直線的對稱點：
，即為所求的點.
∴這樣的點p共有4個：，，，
3.（2011桂林）已知二次函式的圖象如圖.
（1）求它的對稱軸與軸交點d的座標；
（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設平移後的拋物線與軸，軸的交點分別為a、b、c三點，若∠acb=90°，求此時拋物線的解析式；
（3）設（2）中平移後的拋物線的頂點為m，以ab為直徑，d為圓心作⊙d，試判斷直線cm與⊙d的
位置關係，並說明理由.
解: （1）由得
∴ｄ（３，０）
（2）方法一:如圖1, 設平移後的拋物線的解析式為
則c oc= 令即
得∴a，b
∴……………………6分
∵即: 得 (捨去)
∴拋物線的解析式為
方法二:
頂點座標
設拋物線向上平移h個單位,則得到,頂點座標
∴平移後的拋物線:
當時, , 得
∴ a b
∵∠acb=90° ∴△aoc∽△cob
∴oa·ob
得 ,∴平移後的拋物線:
（3）方法一:
如圖2, 由拋物線的解析式可得
a(-2 ，0)，b(8，0) ，c(４，0) ，m
過c、m作直線，鏈結cd，過m作mh垂直y軸於h,
則 ∴
在rt△cod中,cd==ad
∴點c在⊙d上 ∵
∴∴△cdm是直角三角形，∴cd⊥cm
∴直線cm與⊙d相切
方法二:
如圖3, 由拋物線的解析式可得
a(-2 ，0)，b(8，0) ，c(４，0) ，m
作直線cm,過d作de⊥cm於e, 過m作mh垂直y軸於h,則, , 由勾股定理得
∵dm∥oc
∴∠mch=∠emd
∴rt△cmh∽rt△dme
∴ 得
由(2)知 ∴⊙d的半徑為5
∴直線cm與⊙d相切
考點二：二次函式與相似形
4、(09安順)如圖，已知拋物線與交於a(－1，0)、e(3，0)兩點，與軸交於點b(0，3)。
⑴ 求拋物線的解析式；
⑵ 設拋物線頂點為d，求四邊形aedb的面積；
⑶ △aob與△dbe是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由。
5、（09年遂寧）如圖，二次函式的圖象經過點d(0，)，且頂點c的橫座標為4，該圖象在x 軸上截
得的線段ab的長為6.
⑴求二次函式的解析式；
⑵在該拋物線的對稱軸上找一點p，使pa+pd最小，求出點p的座標；
⑶在拋物線上是否存在點q，使△qab與△abc相似？如果存在，求出點q的座標；如果不存在，請說明理由．
3、已知拋物線的頂點為a(2，1)，且經過原點o，與x軸的另一交點為b。
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 若點c在拋物線的對稱軸上，點d在拋物線上，且以o、c、d、b四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求d點的座標；
(3) 連線oa、ab，如圖②，在x軸下方的拋物線上是否存在點p，使得△obp與△oab相似？若存在，求出p點的座標；若不存在，說明理由。
二、能力提公升
1、（08昆明）如圖，在直角座標系中，以點m（3，0）為圓心，以6為半徑的圓分別交x軸的正半軸於點a，交x軸的負半軸交於點b，交y軸的正半軸於點c ,過點c的直線交x軸的負半軸於點d(－9，0)
(1) 求a、c兩點的座標;
(2) 求證直線cd是⊙m的切線『
(3) 若拋物線經過m、a兩點，求此拋物線的解析式；
(4) 連線ac，若（3）中拋物線的對稱軸分別與直線cd交於點e，與ac交於點f。如果點p是拋物線上的動點，是否存在這樣的點p，使得，若存在，請求出此時點p的座標；若不存在，請說明理由。 (注意：
本題中的結果均保留根號)
2.（09長沙）如圖，二次函式（）的圖象與軸交於兩點，與軸相交於點．鏈結兩點的座標分別為、，且當和時二次函式的函式值相等．
（1）求實數的值；
（2）若點同時從點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿邊運動，其中乙個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．當運動時間為秒時，鏈結，將沿翻摺，點恰好落在邊上的處，求的值及點的座標；
（3）在（2）的條件下，二次函式圖象的對稱軸上是否存在點，使得以為項點的三角形與相似？如果存在，請求出點的座標；如果不存在，請說明理由．
3、（09湖南懷化）如圖11，已知二次函式的圖象與軸相交於兩個不同的點、，與軸的交點為．設的外接圓的圓心為點．
（1）求與軸的另乙個交點d的座標；
（2）如果恰好為的直徑，且的面積等於，求和的值．解得
二次函式綜合應用習題
1 2013淄博 如圖，rt oab的頂點a 2，4 在拋物線y ax2上，將rt oab繞點o順時針旋轉90 得到 ocd，邊cd與該拋物線交於點p，則點p的座標為 a b 2，2 c 2 d 2，2 2013濱州 某高中學校為高一新生設計的學生單人桌的抽屜部分是長方體形 其中，抽屜底面周長為18...
二次函式與圓的綜合應用
函式與圓 例1 如圖所示，在直角座標系中，a的半徑為4，a的座標為 2,0 a與軸交於e f兩點，與軸交於c d兩點，過c點作 a的切線bc交軸於b 1 求直線bc的解析式 2 若拋物線的頂點在直線bc上，與軸的交點恰為 a與軸的交點，求拋物線的解析式 3 試判斷點c是否在拋物線上，並說明理由 例2...
二次函式的應用
1 二次函式y x2 12 k x 12,當x 1時，y隨著x的增大而增大，當x 1時，y隨著x的增大而減小，則k的值應取 a 12 b 11 c 10 d 9 2 下列四個函式中，y的值隨著x值的增大而減小的是 a b c d 3 拋物線y ax2 bx c的圖象如圖，oa oc，則 a ac 1...