例1、一位運動員在距籃下4公尺處跳起投籃，球執行的路線是拋物線，當球執行的水平距離為2.5公尺時，達到最大高度3.5公尺，然後準確落入籃圈。
已知籃圈中心到地面的距離為3.05公尺。
(1)建立如圖所示的直角座標系，求拋物線的解析式；
(2)該運動員身高1.8公尺，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25公尺處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？ 簡解：
(1)由於拋物線的頂點是 (0，3.5)，故可設其解析式為y=ax2+3.5。
又由於拋物線過(1.5，3.05)，於是求得a=-0.
2。∴拋物線的解析式為y=-0.2x2+3.
5。(2)當x=-2.5時，y=2.25。∴球出手時，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(公尺)。
評析：運用投球時球的運動軌跡、彈道軌跡、跳水時人體的運動軌跡，拋物線形橋孔等設計的二次函式應用問題屢見不鮮。解這類問題一般分為以下四個步驟：
(1)建立適當的直角座標系(若題目中給出，不用重建)；
(2)根據給定的條件，找出拋物線上已知的點，並寫出座標；
(3)利用已知點的座標，求出拋物線的解析式。①當已知三個點的座標時，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；②當已知頂點座標為(k，h)和另外一點的座標時，可用頂點式y=a(x-k)2+h求其解析式；③當已知拋物線與x軸的兩個交點座標分別為(x1，0)、(x2，0)時，可用雙根式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；
(4)利用拋物線解析式求出與問題相關的點的座標，從而使問題獲解。
例2、某商場購進一批單價為16元的日用品，經試驗發現，若按每件20元的**銷售時，每月能賣360件，若按每件25元的**銷售時，每月能賣210件，假定每月銷售件數y(件)是**x(元/件)的一次函式．
(1)試求y與x之間的關係式；
(2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問銷售**定為多少時，才能使每月獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？
解：(1)依題意設y=kx+b，則有
所以y=-30x+960(16≤x≤32)．
(2)每月獲得利潤p=(-30x+960)(x-16)
=30(-x+32)(x-16)
=30(+48x-512)
=-30+1920．
所以當x=24時，p有最大值，最大值為1920．
答：當**為24元時，才能使每月獲得最大利潤，最大利潤為1920元．
注意：數學應用題**於實踐，用於實踐，在當今社會市場經濟的環境下，應掌握一些有關商品**和利潤的知識，總利潤等於總收入減去總成本，然後再利用二次函式求最值．
例3、在體育測試時，初三的一名高個子男同學推鉛球，已知鉛球所經過的路線是某個二次函式影象的一部分，如圖所示，如果這個男同學的出手處a點的座標(0，2)，鉛球路線的最高處b點的座標為(6，5)
(1)求這個二次函式的解析式；
(2)該男同學把鉛球推出去多遠？(精確到0.01公尺， )
解：(1) 設二次函式的解析式為
，頂點座標為 (6，5)
a(0，2)在拋物線上
(2) 當時，
(不合題意，捨去)
（公尺）答：該同學把鉛球丟擲13.75公尺.
例4、某商場以每件42元的價錢購進一種服裝，根據試銷得知：這種服裝每天的銷售量（件），與每件的銷售價 （元/件）可看成是一次函式關係：
1.寫出商場賣這種服裝每天的銷售利潤與每件的銷售價之間的函式關係式（每天的銷售利潤是指所賣出服裝的銷售價與購進價的差）；
2.通過對所得函式關係式進行配方，指出：商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件的銷售價定為多少最為合適；最大銷售利潤為多少？
分析：商場的利潤是由每件商品的利潤乘每天的銷售的數量所決定。
在這個問題中，每件服裝的利潤為（），而銷售的件數是（+204），那麼就能得到乙個與之間的函式關係，這個函式是二次函式.
要求銷售的最大利潤，就是要求這個二次函式的最大值.
解：（1）由題意，銷售利潤與每件的銷售價之間的函式關係為
=（－42）（－3＋204），即=－32+8568
（2）配方，得 =－3（－55）2+507
∴當每件的銷售價為55元時，可取得最大利潤，每天最大銷售利潤為507元.
例5、某跳水運動員進行10公尺跳台跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示座標系下經過原點o的一條拋物線（圖中標出的資料為已知條件）.在跳某個規定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面公尺，入水處距池邊的距離為4公尺，運動員在距水面高度為5公尺以前，必須完成規定的翻騰動作，並調整好入水姿勢，否則就會出現失誤.
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（1）中的拋物線，且運動員在空中調整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為公尺，問此次跳水會不會失誤？
並通過計算說明理由
分析：（1）在給出的直角座標系中，要確定拋物線的解析式，就要確定拋物線上三個點的座標，如起跳點o（0，0），入水點（2，－10），最高點的縱點標為.
（2）求出拋物線的解析式後，要判斷此次跳水會不會失誤，就是要看當該運動員在距池邊水平距離為公尺.時，該運動員是不是距水面高度為5公尺.
解：（1）在給定的直角座標系下，設最高點為a，入水點為b，拋物線的解析式為 .
由題意，知o（0，0），b（2，－10），且頂點a的縱座標為.
解得或∵拋物線對稱軸在軸右側，∴
又∵拋物線開口向下，∴a＜0,b＞0
∴拋物線的解析式為
（2）當運動員在空中距池邊的水平距離為公尺時，
即時，∴此時運動員距水面的高為
因此，此次跳水會失誤.
例6、某服裝經銷商甲，庫存有進價每套400元的a品牌服裝1200套，正常銷售時每套600元，每月可賣出100套，一年內剛好賣完，現在市場上流行b品牌服裝，此品牌服裝進價每套200元，售出價每套500元，每月可買出120套（兩套服裝的市場**互不影響）。目前有一可進b品牌的機會，若這一機會錯過，估計一年內進不到這種服裝，可是，經銷商手頭無流動資金可用，只有低價轉讓a品牌服裝，經與經銷商乙協商，達成協議，轉讓**（元/套）與轉讓數量（套）有如下關係：
轉讓數量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100
**（元/套） 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350
方案1：不轉讓a品牌服裝，也不經銷b品牌服裝；
方案2：全部轉讓a品牌服裝，用轉讓來的資金購b品牌服裝後，經銷b品牌服裝；
方案3：部份轉讓a品牌服裝，用轉讓來的資金購b品牌服裝後，經銷b品牌服裝，同時經銷a品牌服裝。
問：①經銷商甲選擇方案1與方案2一年內分別獲得利潤各多少元？
②經銷商甲選擇哪種方案可以使自己一年內獲得最大利潤？若選用方案3，請問他轉讓給經銷商乙的a品牌服裝的數量是多少（精確到百套）？此時他在一年內共得利潤多少元？
解：經銷商甲的進貨成本是==480000（元）
①若選方案1，則獲利1200600-480000=240000（元）
若選方案2，得轉讓款1200240=288000元，可進購b品牌服裝套，一年內剛好賣空可獲利1440500-480000=240000（元）。
②設轉讓a品牌服裝x套，則轉讓**是每套元，可進購b品牌服裝套，全部售出b品牌服裝後得款元，此時還剩a品牌服裝（1200-x）套，全部售出a品牌服裝後得款600（1200-x）元，共獲利，故當x=600套時，可的最大利潤330000元。
在上一問題中，我們結合身邊的生活發現案例，建立數學模型，運用二次函式求最值的思想解之。得到了理論上的最優解。這正說明了數學正廣泛地運用於經濟生活。
三、練習題：
1、某商場以每件30元的**購進一種商品，試銷中發現，這種商品每天的銷量（件）與每件的銷售價（元）滿足一次函式：
（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤與每件的銷售價間的函式數關係式.
（2）如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？
2、如圖，一邊靠學校院牆，其它三邊用40公尺長的籬笆圍成乙個矩形花圃，設矩形的邊公尺，面積為平方公尺.
（1）求：與之間的函式關係式，並求當公尺2時，的值；
（2）設矩形的邊公尺，如果滿足關係式即矩形成**矩形，求此**矩形的長和寬.
練習1答案：
當定價為42元時，最大銷售利潤為432元.
練習2答案：（1）
當時，（2）當則 ①
又 ②由①、②解得 ，
其中20不合題意，捨去，
當矩形成**矩形時，寬為，長為.
3、某地要建造乙個圓形噴水池，在水池**垂直於水面安裝乙個花形柱子oa，o恰在水面中心，安置在柱子頂端a處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過oa的任一平面上，拋物線形狀如圖所示，如圖建立直角座標系，水流噴出的高度與水平距離之間的關係式是.
請回答下列問題：
1.柱子oa的高度為多少公尺？
2.噴出的水流距水平面的最大高度是多少公尺？
3.若不計其它因素，水池的半徑至少要多少公尺，才能噴出的水流不至於落在池外？
練習3答案：
（1）oa高度為公尺.
（2）當時，，即水流距水平面的最大高為公尺.
（3）其中不合題意，
答：水池的半徑至少要2.5公尺，才能使噴出的水流不至於落在池外.
二次函式應用
四 教學過程 如圖，某建築的屋頂設計成橫截面為拋物線型 曲線aob 的薄殼屋頂。它的拱高ab為4m，拱高co為0.8m。施工前要先製造建築模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢?為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當的直角座標系，再寫出函式關係式，然後根據這個關係式進行計算，照樣畫圖。二 引申拓展 運動員跳...
二次函式應用
1 2013保定二模 李明大學畢業後在當地 的扶持下，回家自主創業，投資銷售一種進價為20元的護眼檯燈 銷售過程中發現，每月銷售量y 件 與銷售單價x 元 之間的關係可近似的看作一次函式 y 10x 500 1 設李明每月獲得利潤為w 元 寫出w 元 與銷售單價x 元 之間的函式關係式，並求出當銷售...
二次函式練習
1 已知函式y ax2 bx c 其中a，b，c是常數 當a 時，是二次函式 當a b 時，是一次函式 當a b c 時，是正比例函式 2 當m 時，y m 2 x是二次函式 3 下列不是二次函式的是 a y 3x2 4 b y x2 c y d y x 1 x 2 4 函式y m n x2 mx ...