初中數學培優輔導講義
輔導時間姓名
［例1］ 在實數範圍內，下列各式在什麼條件下有意義
(1) (2) (3) (4)
解：(1)
∴ 當時，有意義
(2)∵， ∴x為任意實數，均有意義
(3)∴當時有意義
(4) 當xy 2z 3 ≥0時，才有意義，故應分類討論
① 當x、y、z中任乙個為0時，xy 2z 3 = 0，意義
② 當x、y、z均不為0時，y 2z 2 > 0，只要xz > 0即x、z同號，有意義
∴當x、y、z中任乙個為0或x、z同號時，有意義
★ 對於二次根式而言，它的被開方數必須為非負數才有意義，在整個初中階段的代數式中，有三種式子在實數範圍內並非總有意義：
分式 (分母為0時無意義)
偶次根式 (被開方數小於0時無意義)
a 0 (底數a為0時無意義)
［例2］化簡下列各式
(1) (a、b、c為乙個三角形的三邊)
(2)(3)解： (1) ∵ a、b、c為乙個三角形的三邊，
∴ a + b + c > 0，a + b – c > 0，a – b – c < 0
∴a.+ b + c | + | a + b – c | + | a – b – c |
= a + b + c + a + b – c – a + b + c
= a + 3b + c
(2)x + 1 | - | x – 3 |
= x + 1 + x – 3
= 2x – 2
(3)2x 注：當 – 1 < x < 0時，
★對於二次根式， 與是特別容易混淆的。因為前一條性質中a為非負數，而後一條性質中的a可以為任意實數，另外造成理解上出錯原因之一是認為平方與開平方是互逆運算，則結果必為自身，而忽略了運算順序的不同會影響到運算的結果。
［例3］把下列根式化為最簡根式
(1) (2) (3) (4)
解：(1)
(2)(3)(4)★作為運算結果，根式必須化為最簡形式，當根式**現字母，我們總是預設它是在有意義的前提下，不作特殊說明時，化簡不必進行討論
【小試牛刀】
1、化簡下列各式
(12)
(34)
(5)略解：(1) (2) – 3 (3) (4) 0 (5)
2、若a < b < c，且 | a | > c，化簡：
略解：∵ a < b < c，且 | a | > c，
∴ a < 0，
a > c，即 a + c > 0
又 b < c，∴ b – c < 0，∴ a + b – c < 0
∴b – 2c
［例4］比較下列各數的大小
(1)與 (2)與 (3)與
解：(1) 兩數平方法
>(2) 兩數平方法
∵ ∴>
(3) 作差法、倒數法
∵ ∴
∴<【小試牛刀】
比較下列各組數的大小
(1)與 (2)與 (3)與
略解：(1) 6 2 = 36
>(2) ∵
<(3)> 0>［例5］求(無窮多重)的值
解：設= x 則
∴ x 2 = 2 + x ，即 x 2 – x – 2 = 0
∴ (x – 2) (x + 1) = 0
∴ x 1 = 2，x 2 = - 1 (不合題意，捨去)
∴= 2
〖考一考〗
01、已知，則x的取值範圍是 x < 0
02、當1≤x≤2時， = 2x – 3
03、當x ≥6且x ≠ 10 時，代數式有意義
04、已知，化簡= 4a
略解：∵ - 2a < x < - a
∴ x + 2a > 0，x + a < 0
又 ∵ - 2a < - a ∴ a > 0， ∴ - a < 0，
而 x < - a， ∴ x < 0
05、當a < 0時，將因式 3a 移到根號內， =
06、當，則b的取值範圍是 b ≤ 0
07、若，則=
08、已知與是同類根式，則a + b = 8
09、若的小數部分記為m，則= 2
10、與最接近的整數是 17
11、已知等式成立，則x的取值範圍是 x ≥ 1
略解：兩邊平方並整理後得：| x – 1 | = x – 1 ［| a | = a a ≥ 0］
12、已知，且x為正的純小數，則=
- 3略解：∵且x為正的純小數，
13、等式成立的條件是 ( c )
a、x – 3 = 0 b、x – 2 ≥0 c、x > 3 d、x為實數
14、若a < - 2，化簡後得到 ( c )
a、2 + a b、a c、- 2 – a d、- a
15、當b > 0，x < 0時，化簡為 ( c )
a、 b、 c、 d、
16、在實數範圍內的值為 ( c )
a、無法確定 b、只能是3 c、只能是1 d、以上都不對
略解：- x 2 = 0，∴x = 0
17、設a、b為實數，且，則是 ( a )
a、整數 b、分數 c、無理數 d、無意義
略解：∵ ∴ (2a – 1) 2 + (b + 5) 2 = 0
∴18、代數式的值為0，則x的值為 ( b )
a、5 b、- 5 c、±5 d、±
略解：【思考題】
1、設等式在實數範圍內成立，其中a、x、y為兩兩不等的實數，求的值
略解：又 ∵當a = 0時，y為不等於a的任意實數
當a > 0時，y – a > 0，但a – y≥0，
a = 0代入 ∴x = - y 故=
2、已知a、b為相鄰的正整數，且c = ab，求證必為奇數
略解：不妨設b = a + 1，則c = a (a + 1)
又 a 2與a + 1一奇一偶
∴a 2 + a + 1必為奇數
∴必為奇數
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二次根式第2課時二次根式的性質配套練習課堂練習班別序號姓名成績 1 使有意義的的取值範圍是 a b cd 2 計算的結果是 a.3b.3 c.3d.93 若，則與3的大小關係是 a 8 c d 4 若，則的值為 a 0b 1c 1d 2 5 式子的取值範圍是 a x 1 b x 1且x 2 c x ...
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