寒假指導------二次根式及性質.
知識要點：
（1）平方根與立方根
a. 平方根的概念：如果乙個數的平方等於a，那麼這個數叫做a的平方根。用表示。
例如：因為。
b. 算術平方根的概念：正數a的正的平方根叫做a的算術平方根。0的算術平方根為0。用表示a的算術平方根。
例如：3的平方根為，其中為3的算術平方根。
c. 立方根的概念：如果乙個數的立方等於a，那麼這個數就叫做a的立方根，用表示。
例如：因為。
d. 平方根的特徵：
①乙個正數有兩個平方根，它們互為相反數。
②0有乙個平方根，就是0本身。
③負數沒有平方根。
e. 立方根的特徵：
①正數有乙個正的立方根。
②負數有乙個負的立方根。
③0的立方根為0。
④。⑤立方根等於其本身的數有三個：1，0，－1。
（2）二次根式
a. 二次根式的概念：形如（a≥0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被開方數一定是非負數，否則就沒有意義，並且根式≥0）。
b. 二次根式的基本性質：
①≥0（a≥0）
②③ ④
⑤c. 二次根式的乘除法
①②d. 最簡二次根式的標準：
①被開方數的因數是整數，因式是整式（分母中不含根號）。
②被開方數中不含開得盡方的因數或因式。
e. 同類二次根式的識別：
幾個二次根式化簡到不能再化簡為止後，被開方數相同，則這幾個二次根式是同類二次根式。
例如：是同類二次根式，是同類二次根式。
f. 二次根式的加減法運算法則：
在加減運算中，一般把二次根式化簡後再運算，運算時只有同類二次根式才能合併（合併時，只合併根號外的因式，被開方數不變），合併同類二次根式之後的式子作為最後的結果（注意：最後結果要盡可能最簡）。
h. 使分母不帶根號（分母有理化）常用方法：
①化去分母中的根號關鍵是確定與分母相乘後，其結果不再含根號的因式。
i. 形如的式子，利用，分子、分母同乘以得
ii. 形如的式子利用平方差公式，分子、分母同時乘以得
注意：分子、分母同時所乘以的式子必須不為0。
即如：，這樣運算不一定正確，因為有可能為0。
②化去分母中的根號，有時通過約分來解決
如：（3）實數與數軸：
a. 無理數的概念：無限不迴圈小數叫做無理數。
b. 實數的概念：有理數與無理數統稱為實數。
c. 實數的分類：
①按實數的定義分類
②按正負分類
d. 實數與數軸上的點之間的關係：
實數與數軸上的點是一一對應的。數軸上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數。數軸上的任一點必定表示乙個實數；反過來每乙個實數都可以用數軸上的點來表示。
e. 常見的幾種無理數：
①根號型：如等開方開不盡的數。
②構造型：如1.21121112……等無限不迴圈小數。
③化簡後含有（圓周率）的數。
④在今後學習中還會遇到三角函式型等。
f. 實數比較大小的幾種常用方法：
①數軸比較法：將兩實數分別表示在數軸上，右邊的數總比左邊的數大，表示在同一點上的兩個數相等。
②差值比較法：設a、b是任意兩實數，若，則；若，則a ③商值比較法：設a、b是兩個正實數
若；若；若。
注：除此以外還有平方法等方法。
【典型例題】
例1. 判斷下列說法是否正確：
（1）4的平方根是2
（2）－25的平方根是－5
（3）的算術平方根是8
（4）－0.027的立方根是0.3
（5）的立方根是
解析：要作出正確判斷，必須弄清平方根、算術平方根的概念和立方根的概念。
例2. 要使下列各式有意義，字母x的取值必須分別滿足什麼條件？
（12）
（34）
解析：二次根式有意義的條件是被開方數為非負數，分式有意義的條件是分母不為0，對於含有多個表示式的式子需同時讓每乙個式子有意義，此表示式才有意義。
例3. 已知互為相反數，求的值。
例4. 計算下列各式：
（12）
（34）
（56）
（7）解析：（1）由公式可以直接得到。
（2）根據積的乘方法則可以求解。
（3）利用進行乘法計算。
（4）利用進行乘法計算，但應知道。
（5）利用進行計算。
（6）和（7）應先對式子中的每個二次根式進行化簡，然後對同類二次根式進行合併。
例5. 化簡下列各式：
（12）
（34）
（56）
解析：（1）（2）（3）都是形如的化簡，關鍵是正確理解和使用
（4）運用對二次根式進行化簡時盡可能將被開方數的因式寫成平方的形式。
（5）（6）去掉分母中的根號，常用的方法是使分母化為（或）的形式。
例6. 已知a、b均為有理數，並且滿足等式：，求a、b的值。
解析：因為
所以因為a、b均是有理數
所以都是有理數
所以有解得例7. 比較的大小。
分析：比較的大小，可先將各數的近似值求出來
再比較大小，本題還有一種方法「分子有理化」
解：∵又∵∴例8. 觀察下列各式及其驗證過程：
驗證：驗證：
（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路猜想的變形結果並進行驗證。
（2）針對上述各式反映的規律，寫出用n（n為任意自然數，且）表示的等式，並給出證明。
【模擬試題】（答題時間：80分鐘）
一. 填空題
1. 計算
2. 若代數式有意義，則x的取值範圍是
3. 計算
4. 在實數範圍內分解因式
5. 若x<5，則
6. 絕對值不超過3的無理數有只需寫出3個即可）。
7. 已知，則的值為
8. 實數a、b、c在數軸上的對應點如圖。
化簡9. 已知，計算ab
10. 的整數部分為a，小數部分為b，則ab
二. 選擇題
11. 在二次根式中，最簡二次根式共有（ ）
a. 1個b. 2個c. 3個d. 4個
12. 在二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）中，與是同類二次根式的是（ ）
a. （1）和（3b. （2）和（3） c. （1）和（4d. （3）和（4）
13. 下列實數中，無理數是（ ）
a. 3.14bc. 0d.
14. 下列各組數中，互為相反數的是（ ）
ab. cd.
15. 若a為實數，下列代數式中，一定是負數的是（ ）
ab. cd.
16. 如圖，數軸上表示1，的對應點分別為a、b，點b關於a對稱點為c，則點c所表示的數是（ ）
ab.cd.
17. 下列命題中正確的是（ ）
a. 如果a、b同號，則
b. 如果a、b異號，則
c. 如果a、b異號，則有意義
d. 如果a、b同號，則無意義
18. 下列計算正確的是（ ）
ab.cd.
19. 若x為任意實數，下列各式一定有意義的是（ ）
ab.cd.
20. 把根號外的因式移入根號內等於（ ）
ab.cd.
三、解答題
21. 在實數範圍內分解因式
（1）；
（2）。
22. 計算：
（1）；
（2）23. 比較兩數的大小：
（1）；
（2）。
24. 化簡求值：
，其中。
25. 解不等式或方程：
（1）；
（2）。
26. 某公司向銀行貸款20萬元資金，約定兩年到期時一次性還本付息，利息是本金的12%，該公司利用這筆貸款經營，兩年到期時除還清貸款的本金和利息外，還盈餘6.4萬元，若在經營期間每年比上一年資金增長百分數相同，試求這個百分數。
27. 閱讀（1），解答（2）、（3）。
（1）舉例說明「兩個無理數的和有可能為有理數。」
解：如都是無理數，而，0就是有理數。
（2）有沒有不相等的兩個無理數的差為有理數？如果有，請用與相關的數舉例說明。
（3）有沒有絕對值不相等的兩個無理數的平方差為有理數？如果有，請用與相關的數舉例說明。
28. 先觀察下列等式，再回答問題：
①；②；③。
（1）根據上面三個等式提供的資訊，請猜想的結果，並進行驗證；
（2）請按照上面各等式反映的規律，試寫出用n（n為正整數）表示的等式，並加以驗證。
【試題答案】
一. 12.
34.56.
7. 58.
9. 610. 1，
二. 11. b12. c13. d14. c15. d
16. c17. c18. a19. d20. d
三. 21. （1）
（2）22. （1）
二次根式的性質
初中數學培優輔導講義 輔導時間姓名 例1 在實數範圍內，下列各式在什麼條件下有意義 1 2 3 4 解 1 當時，有意義 2 x為任意實數，均有意義 3 當時有意義 4 當xy 2z 3 0時，才有意義，故應分類討論 當x y z中任乙個為0時，xy 2z 3 0，意義 當x y z均不為0時，y ...
二次根式練習
姓名一 填空題 1 當x時，有意義 2 計算 123456 3 計算 4 當時，化簡 5 若，則xy 6 請寫出兩個與是同類二次根式的根式 7 計算 8 計算 9 計算 12 3 456 10 當a 時，最簡二次根式與是同類二次根式.11 當時 12 當x 時，當，二 選擇題 13 如果是二次根式，...
二次根式練習
第二十一章二次根式訓練題 一 填空題 1 判斷下列各式 1 2 3 4 5 是二次根式的有2 下列各式 1 2 3 4 5 6 7 8 中是最簡二次根式的是 3 把根號外的因式移到根號內，化簡的結果是 a b c d4 當是什麼實數時，下列各式在實數範圍內有意義？1 2 3 4 5 6 5 已知則x...