一、 知識梳理
1．二次根式的有關概念
(1)二次根式
式子叫做二次根式．注意被開方數只能是正數或o．
(2)最簡二次根式
被開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．
(3)同類二次根式
化成最簡二次根式後，被開方數相同的二次根式，叫做同類二次根式．
2．二次根式的性質
3．二次根式的運算
(1)二次根式的加減
二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類三次根式分別合併．
(2)三次根式的乘法
二次根式相乘，等於各個因式的被開方數的積的算術平方根，即
二次根式的和相乘，可參照多項式的乘法進行．
兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那麼這兩個三次根式互為有理化因式．
(3)二次根式的除法
二次根式相除，通常先寫成分式的形式，然後分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根號化去(或分子、分母約分)．把分母的根號化去，叫做分母有理化．
二、典型例題
例1 （1）（2023年南通市）式子有意義的x取值範圍是________．
【點評】從整體上看分母不為零，從區域性看偶次根式被開方數為非負．
（2）已知a為實數，化簡．
【點評】要注意挖掘其隱含條件：a<0．
掌握最簡二次根式的條件和同類二次根式的判斷方法
例2（2023年海淀區）下列根式中能與合併的二次根式為（ ）
a．【點評】抓住最簡二次根式的條件，結合同類二次根式的概念去解決問題．
掌握二次根式化簡求值的方法要領
例3 （2023年長沙市）先化簡，再求值:
若a=4+，b=4-，求．
【點評】注意對求值式子進行變形化簡約分，再對已知條件變形整體代入．
例4 已知△abc的三邊長分別為a、b、c, 且a、b、c滿足a2 －6a+9+，試判斷△abc的形狀．
例5 x為何值時，下列各式在實數範圍內有意義
（1）； （23）
例6 找出下列二次根式中的最簡二次根式：
例7 判別下列二次根式中，哪些是同類二次根式：
例8 化簡與計算
⑤；⑥課後練習
1. 如果那麼x取值範圍是（）
a、x ≤2 b. x ＜2 c. x ≥2 d. x＞2
2. 下列各式屬於最簡二次根式的是（ ）
a． 3. 在二次根式：①②③；④是同類二次根式的是（ ）
a．①和③ b．②和③ c．①和④ d．③和④
7.計算
（1）、； （2）、
（34）、
8. 已知： ，求3x+4y的值。
9. 實數p在數軸上的位置如圖所示：化簡
10. 閱讀下面的文字後，回答問題：小明和小芳解答題目：「先化簡下式，再求值：a+其中a=9時」，得出了不同的答案，小明的解答：
原式= a+= a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a－1)=2a－1=2×9－1=17
是錯誤的；
⑵錯誤的解答錯在未能正確運用二次根式的性質：________
習題練習
1. 化簡：
2. 已知，求x、y的值。
3.已知，化簡的結果是多少？
3. 若，則的值用a、b表示為多少？
4. 化簡：
5. 式子中的x的取值範圍是多少？
6. 7.當x=_____時,的值最小,最小值是:_______.
8.在實數範圍內分解因式:
9.計算(1). (2).
10.等式:中的括號內應填入:________
11.下列二次根式中,最簡二次根式是( )
a. b. c. d.
12.下列各式中,與是同類二次根式的是 ( )
a. b. c. d.
13.若成立,則x的取值範圍為( )
a. b. c. d.
14.計算:,結果是:( )
a. b. c. d.
15.數的整數部分是x, 小數部分是y, 則x-2y的值是( )
a. b. c. d..
16.已知，則的值是：（ ）
ａ.5 ｂ.6 ｃ.3 ｄ.4
17.若有意義，則x的取值範圍是
18.實數a在數軸上的位置如圖,化簡
19.若，則的值為
二次根式複習
知識點1 二次根式 重點 掌握二次根式的概念 難點 二次根式有意義的條件 式子 a 0 叫做二次根式 例1 下列各式1 其中是二次根式的是填序號 例2 若式子有意義，則x的取值範圍是 學 科 網z x x k 例3 若y 2009，則x y 1 使代數式有意義的x的取值範圍是 a x 3b x 3c...
二次根式複習
知識點一 二次根式的概念 知識要點 二次根式的定義 形如的式子叫二次根式，其中叫被開方數，只有當是乙個非負數時，才有意義 1 下列各式中，一定是二次根式的是 a b c d 2 在 中是二次根式的個數有 個 1 使代數式有意義的x的取值範圍是 a x 3b x 3c x 4d x 3且x 4 2 使...
二次根式複習
知識點 了解什麼是最簡二次根式，同類二次根式，通分，最簡公分母，根式的加減乘除 考點一 考查二次根式的兩個非負性 例1 函式中，自變數x的取值範圍是 例2 若實數滿足，則的值是 考點二 二次根式性質 和的運用 例3.如圖，實數 在數軸上的位置，化簡考點三 二次根式的性質 和進行二次根式的化簡例4 下...