二次根式小結與複習
夏飛【主要內容】
本單元是在學習了平方根和算術平方根的意義的基礎上，引入乙個符號「」．主要內容有：（1）二次根式的有關概念，如：二次根式定義、最簡二次根式、同類二次根式等；（2）二次根式的性質；（3）二次根式的運算，如：
二次根式的乘除法、二次根式的加減法等．
【要點歸納】
1. 二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，其中叫被開方數，只有當是乙個非負數時，才有意義．
2. 二次根式的性質：①②
③④3. 二次根式的運算
二次根式的運算主要是研究二次根式的乘除和加減．
（1）二次根式的加減：
需要先把二次根式化簡，然後把被開方數相同的二次根式（即同類二次根式）的係數相加減，被開方數不變。
注意：對於二次根式的加減，關鍵是合併同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合併．但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數應不含分母，不含能開得盡的因數．
（2）二次根式的乘法：
（3）二次根式的除法：
注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值範圍，最後把運算結果化成最簡二次根式．
（4）二次根式的混合運算：
先乘方（或開方），再乘除，最後加減，有括號的先算括號裡面的；能利用運算律或乘法公式進行運算的，可適當改變運算順序進行簡便運算．
注意：進行根式運算時，要正確運用運算法則和乘法公式，分析題目特點，掌握方法與技巧，以便使運算過程簡便．二次根式運算結果應盡可能化簡．另外，根式的分數必須寫成假分數或真分數，不能寫成帶分數．例如不能寫成．
（5）有理化因式：
一般常見的互為有理化因式有如下幾類：
①與； ②與；
③與； ④與．
說明：利用有理化因式的特點可以將分母有理化．
【難點指導】
1、如果是二次根式，則一定有；當時，必有；
2、當時，表示的算術平方根，因此有；反過來，也可以將乙個非負數寫成的形式；
3、表示的算術平方根，因此有，可以是任意實數；
4、區別和的不同：
中的可以取任意實數，中的只能是乙個非負數，否則無意義．
5、簡化二次根式的被開方數，主要有兩個途徑：
（1）因式的內移：因式內移時，若，則將負號留在根號外．即：．
（2）因式外移時，若被開數中字母取值範圍未指明時，則要進行討論．即：
6、二次根式的比較：
（1）若，則有；（2）若，則有．
說明：一般情況下，可將根號外的因式都移到根號裡面去以後再比較大小．
二次根式強化訓練與複習鞏固自測試題
【時間60分鐘滿分100分】
一、填空題：（每小題2分，共 20分）
1．化簡
2．當______時，．
3．等式成立的條件是______．
4．當，化簡_______．
5．比較與的大小：_______．
6．分母有理化：
（123
7．已知，，，那麼________．
8．計算
9．如果，那麼的值為
10．若有意義，則的取值範圍是
二、選擇題：（每小題2分，共 20分）
1．下式中不是二次根式的為（ ）
a．； b．； c．； d．
2．計算得（ ）
a．； b． c． d．17
3．若，則化簡等於（ ）
a． b． c． d．1
4．化簡的結果是（ ）
a． b． c． d．
5．計算的結果是（ ）
a． b． c． d．
6．化簡的結果是（ ）
a．2 b． c． d．以上答案都不對
7．把式子中根號外的移到根號內，得（ ）
a． b． c． d．
8．等式成立的條件是（ ）
a． b． c． d．
9．的值為（ ）
a． b． c． d．
10．若代數式有意義，則的取值範圍是（ ）
a．且 b． c．且 d．且
三、計算與化簡：（每小題2分，共 16分）
（12）
（34）
（56）
（78）
（9） （10）
四、求值題：（每小題4分，共 16分）
1．已知：，求的值．
2．已知，求的值。
3．已知：，求的值．
4．求的值．
5．已知、是實數，且，求的值．
五、解答題：（每小題4分，共 16分）
1．解方程：
2．在△abc中，三邊分別為，且滿足，，試探求△abc的形狀．
3．有一種房梁的截面積是乙個矩形，且矩形的長與寬之比為：1，現用直徑為3cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那麼加工後的房梁的最大截面積是多少？
答案與提示：
一、填空題：
1． 8； 2．； 3．，； 4．； 5．；6．（1） （2） （3） 7．； 8．； 9．4； 10．；
二、選擇題：
1．b； 2．b； 3．c； 4．a； 5．a； 6．c； 7．c； 8．a； 9．b； 10．c；
三、計算與化簡：
（1）96 （2） （3） （4） （5） （6）
（7） （8） （9）
（10）思路點撥：由於，因此對代數式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母係數的一元一次方程得到的值，代入化簡得結果即可．
解：原式
．四、求值題：
1．由於，所以；
2．解：∵，∴
∴，∴， ∴
∴原式．
3．提示：由，得：，即：，所以，；再化簡，即：．
4．提示：由於
，而，所以．
5．提示：由，可知的取值範圍：，則；則．
五、解答題：
1．原方程可化為：，
∴ ∴2．∵，∴，
又∵，∴，∴，
∴； ∵，，，∴，，，
∴，∴△abc是等邊三角形．
3．設：矩形房梁的寬為，則長為，依題意，
得：，，，
所以．答：加工後的房梁的最大截面積是．
二次根式複習
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