(一) 教學目的：
掌握判別正項級數斂散性的各種方法，包括比較判別法，比式判別法，根式判別
法和積分判別法．
(二) 教學內容：比較判別法；比式判別法；根式判別法；積分判別法．
基本要求：
(1)掌握比較判別法，比式判別法，根式判別法和積分判別法．
(2) 較高要求：介紹拉貝判別法．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須理解和掌握比較判別法，比式判別法，根式判別法，要布置足量的習題．
(2) 對較好學生可要求掌握拉貝判別法，可挑選適量的習題．
（3）由於這方面內容與反常積分的部分內容有類似之處，可向學生作比較與總結．
重點：比較判別法, 比值判別法, 根式判別法
一正項級數收斂性的一般判別原則
顯然正項級數的部分和數列是單調遞增的，由單調有界定理，正項級數收斂的充分必要條件是：
定理5 正項級數收斂它的部分和數列有上界。
例 從而
部分和有界，該正項級數收斂。
比較判別法
由定理5，容易推出下面判別法：
定理6（比較原則）有兩個正項級數， 若存在自然數，當時，有， 則
1） 若級數收斂，則級數也收斂；
2） 若級數發散，則級數也發散。
例討論級數的斂散性。
1）時為調和級數發散；
2)時由比較判別法，級數發散；
3）時部分和有界，級數收斂。
結論：級數時發散； 時收斂。
例 1），
解 ， 而收斂
由比較判別法，級數收斂。
例 2）
解 ， 而發散，
由比較判別法，級數發散。
比較判別法的極限形式：
推論有兩個正項級數， 且
1）若級數收斂，且，則級數也收斂；
2）若級數發散，且，則級數也發散。
例判別下列級數的斂散性
12）解首先要找出乙個斂散性已知的級數
1）前面我們證明過級數收斂，用它作比較得
所以收斂。
2）前面講過調和級數發散，用調和級數作比較得
所以發散
用比較判別法，需要事先有乙個斂散性已知的合適級數作為比較的基礎，用起來不大方便，我們用幾何級數作比較可以匯出兩個簡便判別法.
二比式判別法和根式判別法
定理7 （達朗貝爾判別法或比值判別法）有正項級數
i)若存在時有 ，則級數收斂(注意不能換為)
ii) 若存在時有 ，則級數發散。
證 i) 不妨設時就有成立 , 有
依次相乘 , , 即
由, 得, <.
ii) 可見往後遞增 , .
推論1 有正項級數且
i） 若則級數收斂
ii）或, = . ( 證 )
定理8 （柯西判別法或根式判別法）有正項級數
i)若存在時有 ，則級數收斂(注意不能換為)
ii) 若存在無限個，有 ，則級數發散。
推論2 有正項級數且
i）若則級數收斂
ii）若則級數發散
例判別下列級數的斂散性
1），因 , 級數收斂
2）因級數收斂。
例7 研究級數的斂散性 .
解 例8 判斷級數和的斂散性 .
解前者通項不趨於零 , 後者用檢根法判得其收斂 .
三積分判別法
級數與無窮積分的關係 :
, 其中. 無窮積分可化為級數 ;
對每個級數, 定義函式, 易見有
=. 即級數可化為無窮積分.
因此,級數和無窮積分可以互化, 它們有平行的理論和結果.可以用其中的乙個研究另乙個.
定理12.9 設為上的非負函式，那麼正項級數與反常積分同時斂散。
證明例用積分判別法研究級數的斂散性。
例討論級數 （1），（2）的斂散性
正項級數的收斂判別法及其推廣
引言數項級數又稱無窮級數,簡稱級數.若數項級數的各項都由正數組成,則稱為正項級數.級數理論是數學中乙個非常重要的理論,正項級數又是級數中的基礎部分,具有很強的實用價值和廣泛的應用.作為一種常用的研究工具廣泛的應用於其他數學科學和科學技術領域,因此它的收斂判定問題一直被人們所研究.正項級數的收斂判別法...
高數輔導之專題十九 正項級數的斂散性判別法
專題十九 基礎知識 常數項級數的部分和數列，定義1 若，常數項級數收斂，且 若不存在，常數項級數發散。常數項級數是否收斂取決於的部分和數列是否存在極限 常數項級數的基本性質 性質1若級數 收斂，其和分別為 是常數，則級數亦收斂，且其和為，亦即 推論1若級數收斂，發散，則發散，其中是不為零的常數。思考...
常數項級數
內容要點 一，概念與性質 一 概念由數列構成的式子 稱為無窮級數，簡稱為級數.稱為級數的一般項，稱為級數的部分和.如果,則稱級數收斂，稱為該級數的和.此時記.否則稱級數發散.二 性質 1,若收斂，則 2,若,收斂，則 3,級數增減或改變有限項，不改變其斂散性.4,若級數收斂，則任意加括號後所成的級數...