第一部分函式圖象中點的存在性問題
1.1 因動點產生的相似三角形問題
例1 如圖1，已知拋物線的方程c1： (m＞0)與x軸交於點b、c，與y軸交於點e，且點b在點c的左側．
（1）若拋物線c1過點m(2, 2)，求實數m的值；
（2）在（1）的條件下，求△bce的面積；
（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點h，使得bh＋eh最小，求出點h的座標；
（4）在第四象限內，拋物線c1上是否存在點f，使得以點b、c、f為頂點的三角形與△bce相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．
圖1思路點撥
1．第（3）題是典型的「牛喝水」問題，當h落**段ec上時，bh＋eh最小．
2．第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線bf，作∠cbf＝∠ebc＝45°，或者作bf//ec．再用含m的式子表示點f的座標．然後根據夾角相等，兩邊對應成比例列關於m的方程．
滿分解答
（1）將m(2, 2)代入，得．解得m＝4．
（2）當m＝4時，．所以c(4, 0)，e(0, 2)．
所以s△bce＝．
（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1，當h落**段ec上時，bh＋eh最小．
設對稱軸與x軸的交點為p，那麼．
因此．解得．所以點h的座標為．
（4）①如圖3，過點b作ec的平行線交拋物線於f，過點f作ff′⊥x軸於f′．
由於∠bce＝∠fbc，所以當，即時，△bce∽△fbc．
設點f的座標為，由，得．
解得x＝m＋2．所以f′(m＋2, 0)．
由，得．所以．
由，得．
整理，得0＝16．此方程無解．
圖2圖3圖4
②如圖4，作∠cbf＝45°交拋物線於f，過點f作ff′⊥x軸於f′，
由於∠ebc＝∠cbf，所以，即時，△bce∽△bfc．
在rt△bff′中，由ff′＝bf′，得．
解得x＝2m．所以f′．所以bf′＝2m＋2，．
由，得．解得．
綜合①、②，符合題意的m為．
考點伸展
第（4）題也可以這樣求bf的長：在求得點f′、f的座標後，根據兩點間的距離公式求bf的長．
例2 如圖1，拋物線經過點a(4，0)、b（1，0)、c（0，－2）三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）p是拋物線上的乙個動點，過p作pm⊥x軸，垂足為m，是否存在點p，使得以a、p、m為頂點的三角形與△oac相似？若存在，請求出符合條件的點p的座標；若不存在，請說明理由；
（3）在直線ac上方的拋物線是有一點d，使得△dca的面積最大，求出點d的座標．,圖1
思路點撥
1．已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定係數法求解析式時，設交點式比較簡便．
2．數形結合，用解析式表示圖象上點的座標，用點的座標表示線段的長．
3．按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程．
4．把△dca可以分割為共底的兩個三角形，高的和等於oa．
滿分解答
（1）因為拋物線與x軸交於a(4，0)、b（1，0)兩點，設拋物線的解析式為，代入點c的座標（0，－2），解得．所以拋物線的解析式為．
（2）設點p的座標為．
①如圖2，當點p在x軸上方時，1＜x＜4，，．
如果，那麼．解得不合題意．
如果，那麼．解得．
此時點p的座標為（2，1）．
②如圖3，當點p在點a的右側時，x＞4，，．
解方程，得．此時點p的座標為．
解方程，得不合題意．
③如圖4，當點p在點b的左側時，x＜1，，．
解方程，得．此時點p的座標為．
解方程，得．此時點p與點o重合，不合題意．
綜上所述，符合條件的點p的座標為（2，1）或或．
圖2圖3圖4
（3）如圖5，過點d作x軸的垂線交ac於e．直線ac的解析式為．
設點d的橫座標為m，那麼點d的座標為，點e的座標為．所以．
因此．當時，△dca的面積最大，此時點d的座標為（2，1）．
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