1、我們給出如下定義：若乙個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形．請解答下列問題：
（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；
（2）**：當等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為時，這對角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關係，並證明你的結論．
[解] （1）答案不唯一，如正方形、矩形、等腰梯形等等．
（2）結論：等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為時，這對角所對的兩邊之和大於或等於一條對角線的長．
已知：四邊形中，對角線，交於點，，
且．求證：．
證明：過點作，在上擷取，使．
鏈結，．
故，四邊形是平行四邊形．
所以是等邊三角形，．
所以．①當與不在同一條直線上時（如圖1），
在中，有．
所以．②當與在同一條直線上時（如圖2），
則．因此．
綜合①、②，得．
即等對角線四邊形中兩條對角線所夾角為時，這對角所對的兩邊之和大於或等於其中一條對角線的長．。
2、（上海卷）已知點**段上，點**段延長線上．以點為圓心，為半徑作圓，點是圓上的一點．
（1）如圖，如果，．求證：；
（2）如果（是常數，且），，是，的比例中項．當點在圓上運動時，求的值（結果用含的式子表示）；
（3）在（2）的條件下，討論以為半徑的圓和以為半徑的圓的位置關係，並寫出相應的取值範圍．
[解] （1）證明：，．
． ，．，．（2）解：設，則，，是，的比例中項，
， 得，即．
． 是，的比例中項，即，
，． 設圓與線段的延長線相交於點，當點與點，點不重合時，
，． ．
；當點與點或點重合時，可得，
當點在圓上運動時，；
（3）解：由（2）得，，且，
，圓和圓的圓心距，
顯然，圓和圓的位置關係只可能相交、內切或內含．
當圓與圓相交時，，得，
，； 當圓與圓內切時，，得；
當圓與圓內含時，，得． 如圖，已知拋物線與座標軸交於三點，點的橫座標為，過點的直線與軸交於點，點是線段上的乙個動點，於點．若，且．
（1）確定的值：；
（2）寫出點的座標（其中用含的式子表示）：
；（3）依點的變化，是否存在的值，使為等腰三角形？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由．
[解] （1）
（2）（3）存在的值，有以下三種情況
①當時，則②當時得③當時，如圖
解法一：過作，又
則又解法二：作斜邊中線
則，此時
解法三：在中有
捨去）又
當或或時，為等腰三角形．
4、已知p（，）是拋物線上的點，且點p在第一象限.
（1）求的值
（2）直線過點p，交軸的正半軸於點a，交拋物線於另一點m.
①當時，∠opa=90°是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，舉出乙個反例說明；
②當時，記△moa的面積為s，求的最大值.
[解] （1）
（2）①b=2a，
p在直線上，則
a（2，0）
m（-1，a）
∠opa=90°
即，p（1，1）
故存在這樣的點p
②又∴s=∴當時，
5、（福建漳州卷）如圖，已知矩形，在上取兩點（在左邊），以為邊作等邊三角形，使頂點在上，分別交於點．
（1）求的邊長；
（2）在不新增輔助線的情況下，當與不重合時，從圖中找出一對相似三角形，並說明理由；
（3）若的邊**段上移動．試猜想：與有何數量關係？並證明你猜想的結論．
[解] （1）過作於
矩形，即，又
是等邊三角形
在中的邊長為．
（2）正確找出一對相似三角形
正確說明理由
方法一：
理由：矩形
方法二：
理由：矩形 又
（3）猜想：與的數量關係是：
證法一：在中，
是等邊三角形
證法二：在中，
是等邊三角形，
在中，，即在中，證法三：在中，
，是等邊三角形
①即 ②
把②代入①得，
6、）如圖，在中，所對的圓心角為，已知圓的半徑為2cm，並建立如圖所示的直角座標系．
（1）求圓心的座標；
（2）求經過三點的拋物線的解析式；
（3）點是弦所對的優弧上一動點，求四邊形的最大面積；
（4）在（2）中的拋物線上是否存在一點，使和相似？若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由．
[解] （1）如圖（1），鏈結．
則，，．
，． （2）由三點的特殊性與對稱性，
知經過三點的拋物線的解析式為．
，，． ．．
（3），又與均為定值，
當邊上的高最大時，最大，此時點為與軸的交點，如圖1．
． （4）方法1：
如圖2，為等腰三角形，，
等價於．
設且，則，
． 又的座標滿足，
在拋物線上，存在點，
使．由拋物線的對稱性，知點也符合題意．
存在點，它的座標為或．
方法2：
如圖（3），當時，，又由（1）知，
點在直線上．
設直線的解析式為，
將代入，解得
直線的解析式為．
解方程組得．
又，．，．
在拋物線上，存在點，使．
由拋物線的對稱性，知點也符合題意．
存在點，它的座標為或．
方法3：
如圖3，為等腰三角形，且，設則圖3
等價於，．
當時，得
解得．又的座標滿足，
在拋物線上，存在點，使．
由拋物線的對稱性，知點也符合題意．
存在點，它的座標為或．
[點評]本題是一道綜合性很強也是傳統型的壓軸題，涉及了函式、方程、相似、圓等大量初中數學的重點知識，解這類問題要求學生必須穩固的掌握各個領域的數學知識，須注意的是在第4小問中涉及了相似三角形的問題，很有可能會有多解的情況出現，此時就要求學生擁有較強的數形結合思想去探索結論的存在性。
7、（廣東廣州課改卷）已知拋物線．
（1）求證：該拋物線與軸有兩個不同的交點；
（2）過點作軸的垂線交該拋物線於點和點（點在點的左邊），是否存在實數，使得？若存在，則求出滿足的條件；若不存在，請說明理由．
[解] （1）證法1：
，當時，拋物線頂點的縱座標為，
頂點總在軸的下方．
而該拋物線的開口向上，
該拋物線與軸有兩個不同的交點．
（或者，當時，拋物線與軸的交點在軸下方，而該拋物線的開口向上，該拋物線與軸有兩個不同的交點．）
證法2 ：
，當時，，
該拋物線與軸有兩個不同的交點．
（2）存在實數，使得．
設點的座標為，由知，
①當點在點的右邊時，，點的座標為，
且是關於的方程的兩個實數根．
，即．且（i），（ii）
由（i）得，，即．
將代入（ii）得，．
當且時，有．
②當點在點的左邊時，，點的座標為，
且是關於的方程的兩個實數根．
，即 ．
且（i），（ii）
由（i）得，，即．
將代入（ii）得，且滿足．
當且時，有．
[點評]本題是一道以二次函式為背景的壓軸題，是一道區分度較好的試題，其第1小題只需學生熟悉二次函式的基本性質即可得證，不算難，第2小題則有一定的能力要求，較易漏解，這往往是缺乏數形結合思想所致，解這類題時不要急著下筆，要做到能夠領會命題者的意圖，做到胸有成竹方可下筆。
8、（廣東梅州卷）如圖10，點在拋物線上，過點作與軸平行的直線交拋物線於點，延長分別與拋物線相交於點，連線，設點的橫座標為，且．
（1）當時，求點的座標；
（2）當為何值時，四邊形的兩條對角線互相垂直；
（3）猜想線段與之間的數量關係，並證明你的結論．
[解] （1）點在拋物線上，且，，
點與點關於軸對稱，．
設直線的解析式為，
．解方程組，得．
（2）當四邊形的兩對角線互相垂直時，由對稱性得直線與軸的夾角等於所以點的縱、橫座標相等，
這時，設，代入，得，．
即當時，四邊形的兩條對角線互相垂直．
（3）線段．
點在拋物線，且，
得直線的解析式為，
解方程組，得點
由對稱性得點，
，．[點評]這是一道以雙拋物線為背景的綜合題，第1、2小題均較容易，第3小題是乙個「猜想」型問題，從圖形的直觀上我們可以馬上猜想到結論，然後再努力去證明自己的猜想，一般都能成功。
9、（廣西貴港課改卷）如圖，已知直線的函式表示式為，且與軸，軸分別交於兩點，動點從點開始**段上以每秒2個單位長度的速度向點移動，同時動點從點開始**段上以每秒1個單位長度的速度向點移動，設點移動的時間為秒．
（1）求出點的座標；
（2）當為何值時，與相似？
（3）求出（2）中當與相似時，線段所在直線的函式表示式．
[解] （1）由，
令，得；
令，得．
的座標分別是．
（2）由，，得．
當移動的時間為時，，．
，當時，（秒）．
，當時，
， ．
（秒）．
秒或秒，經檢驗，它們都符合題意，此時與相似．
（3）當秒時，， ，
，，．線段所在直線的函式表示式為．
當時，，，，．
設點的座標為，則有， ．
當時，，
的座標為．
設的表示式為，
則，，的表示式為．
[點評]這是一道以一次函式為背景的動態幾何問題，這類壓軸題向來是中考的熱點問題，第2小題要求學生動中求靜，將動態問題轉化為靜態的幾何問題，再運用相似的有關知識解決問題，同時要注意分類討論。
10、（廣西欽州卷）如圖，在平面直角座標系中，矩形的頂點為原點，為上一點，把沿摺疊，使點恰好落在邊上的點處，點的座標分別為和．
（1）求點的座標；
（2）求所在直線的解析式；
（3）設過點的拋物線與直線的另乙個交點為，問在該拋物線上是否存在點，使得為等邊三角形．若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由．
[解] （1）根據題意，得，
，． 點的座標是；
（2），設，則，，
在中，．
．解之，得，
即點的座標是．
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