解答、證明題
九：應用題
1. 為了迎接「十一」小長假的購物高峰．某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：
已知：用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同．
（1）求m的值；
（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤=售價﹣進價）不少於21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進貨方案？
（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋進行優惠**活動，決定對甲種運動鞋每雙優惠a（50＜a＜70）元**，乙種運動鞋**不變．那麼該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨？
2.某商場經營某種品牌的玩具，購進時的單價是30元，根據市場調查：在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具．
（1）不妨設該種品牌玩具的銷售單價為x元（x＞40），請你分別用x的代數式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得利潤w元，並把結果填寫在**中：
（2）在（1）問條件下，若商場獲得了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價x應定為多少元．
（3）在（1）問條件下，若玩具廠規定該品牌玩具銷售單價不低於44元，且商場要完成不少於540件的銷售任務，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？
3.「低碳生活，綠色出行」，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具。某運動**的自行車銷售量自2023年起逐月增加，據統計，該**1月份銷售自行車64輛，3月份銷售了100輛。
（1）若該**前4個月的自行車銷量的月平均增長率相同，問該**4月份賣出多少輛自行車？
（2）考慮到自行車需求不斷增加，該**準備投入3萬元再購進一批兩種規格的自行車，已知a型車的進價為500元/輛，售價為700元/輛，b型車進價為1000元/輛，售價為1300元/輛。根據銷售經驗，a型車不少於b型車的2倍，但不超過b型車的2.8倍。
假設所進車輛全部售完，為使利潤最大，該**應如何進貨？
十：圓計算與證明
1、如圖ab是⊙o的直徑，pa，pc與⊙o分別相切於點a，c，pc交ab的延長線於點d，de⊥po交po的延長線於點e．
（1）求證：∠epd=∠edo；
（2）若pc=6，tan∠pda=，求oe的長．
2、如圖，abcd中，ab=2，以點a為圓心，ab為半徑的圓交邊bc於點e，連線de、ac、ae．
（1）求證：△aed≌△dca；
（2）若de平分∠adc且與⊙a相切於點e，求圖中陰影部分（扇形）的面積．
3、如圖，在矩形abcd中，ab=2da，以點a為圓心，ab為半徑的圓弧交dc於點e，交ad的延長線於點f，設da=2．
（1）求線段ec的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
4、如圖，△oab中，oa=ob=10，∠aob=80°，以點o為圓心，6為半徑的優弧分別交oa，ob於點m，n．
（1）點p在右半弧上（∠bop是銳角），將op繞點o逆時針旋轉80°得op′．
求證：ap=bp′；
（2）點t在左半弧上，若at與弧相切，求點t到oa的距離；
（3）設點q在優弧上，當△aoq的面積最大時，直接寫出∠boq的度數．
5、如圖，ab為⊙o的直徑，c為⊙o上一點，ad和過c點的直線互相垂直，垂足為d，且ac平分∠dab．
（1）求證：dc為⊙o的切線；
（2）若⊙o的半徑為3，ad=4，求ac的長．
十一：二次函式綜合題
1、拋物線y=﹣x2平移後的位置如圖所示，點a，b座標分別為（﹣1，0）、（3，0），設平移後的拋物線與y軸交於點c，其頂點為d．
（1）求平移後的拋物線的解析式和點d的座標；
（2）∠acb和∠abd是否相等？請證明你的結論；
（3）點p在平移後的拋物線的對稱軸上，且△cdp與△abc相似，求點p的座標．
2、如圖，△abc的頂點座標分別為a（﹣6，0），b（4，0），c（0，8），把△abc沿直線bc翻摺，點a的對應點為d，拋物線y=ax2﹣10ax+c經過點c，頂點m在直線bc上．
（1）證明四邊形abcd是菱形，並求點d的座標；
（2）求拋物線的對稱軸和函式表示式；
（3）在拋物線上是否存在點p，使得△pbd與△pcd的面積相等？若存在，直接寫出點p的座標；若不存在，請說明理由．
3、如圖，在平面直角座標系xoy中，拋物線y=ax2+bx+c交y軸於點c（0，4），對稱軸x=2與x軸交於點d，頂點為m，且dm=oc+od．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設點p（x，y）是第一象限內該拋物線上的乙個動點，△pcd的面積為s，求s關於x的函式關係式，並寫出自變數x的取值範圍；
（3）在（2）的條件下，若經過點p的直線pe與y軸交於點e，是否存在以o、p、e為頂點的三角形與△opd全等？若存在，請求出直線pe的解析式；若不存在，請說明理由．
4、如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=x+2交於c、d兩點，其中點c在y軸上，點d的座標為（3，）．點p是y軸右側的拋物線上一動點，過點p作pe⊥x軸於點e，交cd於點f．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點p的橫座標為m，當m為何值時，以o、c、p、f為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由．
（3）若存在點p，使∠pcf=45°，請直接寫出相應的點p的座標．
5、圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交於點a，c，與y軸相交於點b，連線ab，bc，點a的座標為（2，0），tan∠bao=2，以線段bc為直徑作⊙m交ab與點d，過點b作直線l∥ac，與拋物線和⊙m的另乙個交點分別是e，f．
（1）求該拋物線的函式表示式；
（2）求點c的座標和線段ef的長；
（3）如圖2，連線cd並延長，交直線l於點n，點p，q為射線nb上的兩個動點（點p在點q的右側，且不與n重合），線段pq與ef的長度相等，連線dp，cq，四邊形cdpq的周長是否有最小值？若有，請求出此時點p的座標並直接寫出四邊形cdpq周長的最小值；若沒有，請說明理由．
十二：綜合壓軸題
1、如圖，在直角座標系中，點a，b，c的座標分別為（﹣1，0），（3，0），（0，3），d（1，a）在直線bc上，⊙a是以a為圓心，ad為半徑的圓．
（1）求a的值；
（2）求證：⊙a與bc相切；
（3）在x負半軸上是否存在點m，使mc與⊙a相切，若存在，求點m的座標；若不存在，說明理由；
（4）線段ad與y軸交於點e，過點e的任意一直線交⊙a於p、q兩點，問是否存在乙個常數k，始終滿足peqe=k，如果存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．
2、如圖，在rt△abc中，∠acb=900，ac=，bc=3，△def是邊長為a（a為小於3的常數）的等邊三角形，將△def沿ac方向平移，使點d**段ac上，de∥ab，設△def與△abc重疊部分的周長為t。
（1）求證：點e到ac的距離為一常數；
（2）若ad=，當a=2時，求t的值；
（3）若點d運動到ac的中點處，請用含a的代數式表示t。
3、如圖，在rt△abc中，∠b=90°，ac=60cm，∠a=60°，點d從點c出發沿ca方向以4cm/秒的速度向點a勻速運動，同時點e從點a出發沿ab方向以2cm/秒的速度向點b勻速運動，當其中乙個點到達終點時，另乙個點也隨之停止運動．設點d、e運動的時間是t秒（0＜t≤15）．過點d作df⊥bc於點f，連線de，ef．
（1）求證：ae=df；
（2）四邊形aefd能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值，如果不能，說明理由；
（3）當t為何值時，△def為直角三角形？請說明理由．
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