2019中考數學壓軸題選講二

1.如圖，在直角座標系中，點為函式在第一象限內的圖象上的任一點，點的座標為，直線過且與軸平行，過作軸的平行線分別交軸，於，鏈結交軸於，直線交軸於．

（1）求證：點為線段的中點；

（2）求證：①四邊形為平行四邊形；

②平行四邊形為菱形；

（3）除點外，直線與拋物線有無其它公共點？並說明理由．

（08江蘇鎮江28題解析）（1）法一：由題可知．，，．

，即為的中點．

法二：又軸，．

（2）①由（1）可知，，

，，．，

又，四邊形為平行四邊形．

②設，軸，則，則．

過作軸，垂足為，在中，

．平行四邊形為菱形．

（3）設直線為，由，得，代入得：

直線為．

設直線與拋物線的公共點為，代入直線關係式得：

，，解得．得公共點為．

所以直線與拋物線只有乙個公共點．

2.如圖13，已知拋物線經過原點o和x軸上另一點a,它的對稱軸x=2 與x軸交於點c，直線y=-2x-1經過拋物線上一點b(-2,m)，且與y軸、直線x=2分別交於點d、e.

（1）求m的值及該拋物線對應的函式關係式；

（2）求證：① cb=ce ；② d是be的中點；

（3）若p(x，y)是該拋物線上的乙個動點，是否存在這樣的點p,使得pb=pe,若存在，試求出所有符合條件的點p的座標；若不存在，請說明理由.

（1）∵ 點b(-2,m)在直線y=-2x-1上，

∴ m=-2×(-2)-1=3

∴ b(-2,3)

∵ 拋物線經過原點o和點a，對稱軸為x=2，

∴ 點a的座標為(4,0

設所求的拋物線對應函式關係式為y=a(x-0)(x-4).

將點b(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .

∴ 所求的拋物線對應的函式關係式為，

即. （2）①直線y=-2x-1與y軸、直線x=2的交點座標分別為d(0,-1) e(2,-5).

過點b作bg∥x軸，與y軸交於f、直線x=2交於g，

則bg⊥直線x=2，bg=4.

在rt△bgc中，bc=.

∵ ce=5，∴ cb=ce=5.

②過點e作eh∥x軸，交y軸於h，

則點h的座標為h(0,-5).

又點f、d的座標為f(0,3)、d(0,-1)，

∴ fd=dh=4，bf=eh=2，∠bfd=∠ehd=90°.

dfb≌△dhe （sas），∴ bd=de.，即d是be的中點.

（3）存在. 由於pb=pe，∴ 點p在直線cd上，

∴ 符合條件的點p是直線cd與該拋物線的交點.

設直線cd對應的函式關係式為y=kx+b.

將d(0,-1) c(2,0)代入，得. 解得 .

直線cd對應的函式關係式為y=x-1.

∵ 動點p的座標為(x，)，∴ x-1=.

解得，.

∴ ，.

∴ 符合條件的點p的座標為(，)或(，).

3.如圖，在平面直角座標系中，拋物線=－++經過a（0，－4）、b（，0）、 c（，0）三點，且-=5．

（1）求、的值；（4分）

（2）在拋物線上求一點d，使得四邊形bdce是以bc為對角線的菱形；（3分）

（3）在拋物線上是否存在一點p，使得四邊形bpoh是以ob為對角線的菱形？若存在，求出點p的座標，並判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．（3分

解：（1）解法一：

∵拋物線=－++經過點a（0，－4）， ∴=－4

又由題意可知，、是方程－++=0的兩個根，

∴+=， =－=6

由已知得（-）=25，

又（-）=（+）－4=－24

∴ －24=25，解得=±

當=時，拋物線與軸的交點在軸的正半軸上，不合題意，捨去．∴=－．

解法二：∵、是方程－++c=0的兩個根，

即方程2－3+12=0的兩個根．

∴=，∴－==5，解得 =±

（2）∵四邊形bdce是以bc為對角線的菱形，根據菱形的性質，點d必在拋物線的對稱軸上，

又∵=－－－4=－（+）+

拋物線的頂點（－，）即為所求的點d．

（3）∵四邊形bpoh是以ob為對角線的菱形，點b的座標為（－6，0），

根據菱形的性質，點p必是直線=-3與

拋物線=－--4的交點，

∴當=－3時，=－×（－3）－×（－3）－4=4，

∴在拋物線上存在一點p（－3，4），使得四邊形bpoh為菱形．

四邊形bpoh不能成為正方形，因為如果四邊形bpoh為正方形，

點p的座標只能是（－3，3），但這一點不在拋物線上．

4.已知：如圖14，拋物線與軸交於點，點，與直線相交於點，點，直線與軸交於點．

（1）寫出直線的解析式．

（2）求的面積．

（3）若點**段上以每秒1個單位長度的速度從向運動（不與重合），同時，點在射線上以每秒2個單位長度的速度從向運動．設運動時間為秒，請寫出的面積與的函式關係式，並求出點運動多少時間時，的面積最大，最大面積是多少？

（解析）解：（1）在中，令

，，

又點在上

的解析式為

（2）由，得，

，，，（3）過點作於點

由直線可得：

在中，，，則

，此拋物線開口向下，當時，

當點運動2秒時，的面積達到最大，最大為．

5.如圖，二次函式的圖象經過點d(0，)，且頂點c的橫座標為4，該圖象在x軸上截得的線段ab的長為6．

（1）求該二次函式的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸上找一點p，使pa＋pd最小，求出點p的座標；

（3）在拋物線上是否存在點q，使△qab與△abc相似？如果存在，求出點q的座標；如果不存在，請說明理由．

解：（1）設該二次函式的解析式為y＝a(x－h)2＋k

∵頂點c的橫座標為4，且過點d(0，)

∴＝16a＋k ①

又∵對稱軸為直線x＝4，圖象在x軸上截得的線段ab的長為6

∴a(1，0)，b(7，0) ∴0＝9a＋k

由①②解得a＝，k＝ ∴該二次函式的解析式為y＝(x－4)2

（2）∵點a、b關於直線x＝4對稱，∴pa＝pb

∴pa＋pd＝pb＋pd≥db

∴當點p**段db上時，pa＋pd取得最小值

∴db與對稱軸的交點即為所求的點p，如圖1

設直線x＝4與x軸交於點m

∵pm∥od，∴∠bpm＝∠bdo，

又∠pbm＝∠dbo，∴△bpm∽△bdo

∴＝，即＝，∴pm＝』

∴點p的座標為(4，)

（3）由（1）知點c(4，)，

又∵am＝3，∴在rt△acm中，tan∠acm＝，∴∠acm＝60°

∵ac＝bc，∴∠acb＝120°

①如圖2，當點q在x軸上方時，過q作qn⊥x軸於n

如果ab＝bq，由△abc∽△abq，得bq＝6，∠abq＝120°

∴∠qbn＝60° ∴qn＝，bn＝3，on＝10 ∴此時點q的座標為(10，)

∵(10－4)2＝，∴點q在拋物線上

如果ab＝aq，由對稱性知q(－2，)，且也在拋物線上

②當點q在x軸下方時，△qab就是△acb

∴此時點q的座標為(4，)

綜上所述，在拋物線上存在點q，使△qab與△abc相似

點q的座標為(10，)或(－2，)或(4，)．

2012中考數學壓軸題選講（二）